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指數函式

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“一個”指數函式的最通用形式是冪函式形式

f(x)=ab^(cx+d),
(1)

其中 a, c, 和 d 是實數，b 是正實數，且 x 是實變數。當 c 為正時，f(x) 是一個指數增長函式；當 c 為負時，f(x) 是一個指數遞減函式。

ExpReal
最小值 最大值
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相比之下，“該”指數函式（在初等上下文中有時稱為“自然指數函式”）是由以下定義的函式

exp(x)=e^x,
(2)

其中 e 是正實數 e=2.718... 是自然對數的底。函式 exp(x) 也是微分方程 df/dx=f(x) 具有初始條件 f(0)=1 的唯一解。換句話說，指數函式是其自身的導數，因此

d/(dx)e^x=e^x.
(3)
ExpReImAbs
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Re
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為復變數 z 定義的指數函式 exp(z)=e^z 是複平面中的整函式。

指數函式在 Wolfram 語言中實現為Exp[z]。

“自然”指數函式和通用指數函式透過變數 x 的簡單縮放和乘法前因子透過以下恆等式相互關聯

ab^(c+d)=ab^de^(cxlnb),
(4)

其中 lnz 是自然對數。

指數函式具有簡單的麥克勞林級數

exp(z)=sum_(n=0)^infty(z^n)/(n!),
(5)

其中 n! 是階乘，並且滿足極限

exp(z)=lim_(n->infty)(1+z/n)^n.
(6)

指數函式滿足以下恆等式

exp(x+y)=exp(x)exp(y).
(7)

它還透過以下恆等式與三角函式相關

e^x=coshx+sinhx
(8)
=sec(gdx)+tan(gdx)
(9)
=tan(1/4pi+1/2gdx)
(10)
=(1+sin(gdx))/(cos(gdx)),
(11)

其中 gdx 是 Gudermannian 函式 (Beyer 1987, p. 164; Zwillinger 1995, p. 485)。

如果 z=x+iy,

e^z=e^(x+iy)=e^xe^(iy)=e^x(cosy+isiny).
(12)

類似地，如果

a+bi=e^(x+iy),
(13)

那麼

y=tan^(-1)(b/a)
(14)
x=ln{bcsc[tan^(-1)(b/a)]}
(15)
=ln{asec[tan^(-1)(b/a)]}.
(16)

指數函式具有連分數

e^z=1/(1-z/(1+z/(2-z/(3+z/(2-z/(5+z/(2-...)))))))
(17)

(Wall 1948, p. 348)。

ExpInv
ExpInvReImAbs
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上面的圖顯示了函式 e^(1/z) (Trott 2004, pp. 165-166)。

涉及指數函式的積分包括

int_0^(2pi)e^(e^(it))dt=2pi
(18)
int_0^(2pi)e^(e^(it)-it)dt=2pi
(19)

(Borwein et al. 2004, p. 55)。

另請參閱

Cis, 複數指數, e, 尤拉公式, 指數, 指數定律, 指數衰減, 指數增長, 指數斜坡, 指數遞減函式, 指數增長函式, 傅立葉變換--指數函式, Gudermannian 函式, 自然指數函式, 相量, 冪, Sigmoid 函式 在 教室中探索此主題

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Exp/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Exponential Function." §4.2 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 69-71, 1972.Beyer, W. H. CRC 數學標準表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 217, 1987.Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. 數學實驗：計算發現之路。 Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Finch, S. "指數函式的線性獨立性。" http://algo.inria.fr/csolve/sstein.html.Fischer, G. (Ed.). Plates 127-128 in 大學和博物館收藏的數學模型，圖集。 Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 124-125, 1986.Krantz, S. G. "指數及其應用。" §1.2 in 復變數手冊。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 7-12, 1999.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "指數函式 exp(bx+c)" 和 "冪的指數 exp(-ax^nu)。" Chs. 26-27 in 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 233-261, 1987.Trott, M. "基本超越函式。" §2.2.3 in Mathematica 程式設計指南。 New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Wall, H. S. 連分數解析理論。 New York: Chelsea, 1948.Yates, R. C. "指數曲線。" 曲線及其性質手冊。 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 86-97, 1952.Zwillinger, D. (Ed.). CRC 數學標準表和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.

在 上被引用

指數函式

引用為

Weisstein, Eric W. "指數函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ExponentialFunction.html

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