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傅立葉變換--指數函式

傅立葉變換 e^(-k_0|x|) 由下式給出

F_x[e^(-k_0|x|)](k)=int_(-infty)^inftye^(-k_0|x|)e^(-2piikx)dx=int_(-infty)^0e^(-2piikx)e^(2pixk_0)dx+int_0^inftye^(-2piikx)e^(-2pik_0x)dx
(1)
=int_(-infty)^0[cos(2pikx)-isin(2pikx)]e^(2pik_0x)dx+int_0^infty[cos(2pikx)-isin(2pikx)]e^(-2pik_0x)dx.
(2)

現在令 u=-x 那麼 du=-dx，則

F_x[e^(-k_0|x|)](k) =int_0^infty[cos(2piku)+isin(2piku)]e^(-2pik_0u)du +int_0^infty[cos(2piku)-isin(2piku)]e^(-2pik_0u)du =2int_0^inftycos(2piku)e^(-2pik_0u)du,
(3)

根據 阻尼指數餘弦積分，得到

F_x[e^(-2pik_0|x|)](k)=1/pi(k_0)/(k^2+k_0^2),
(4)

這是一個 洛倫茲函式。

另請參閱

阻尼指數餘弦積分, 指數函式, 傅立葉變換, 洛倫茲函式

使用 探索

請按如下方式引用

Weisstein, Eric W. “傅立葉變換--指數函式。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FourierTransformExponentialFunction.html

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