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傅立葉變換

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傅立葉變換是複數傅立葉級數在 L->infty 極限情況下的推廣。將離散的 A_n 替換為連續的 F(k)dk，同時令 n/L->k。然後將求和變為積分，方程變為

f(x)=int_(-infty)^inftyF(k)e^(2piikx)dk
(1)
F(k)=int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piikx)dx.
(2)

這裡，

F(k)=F_x[f(x)](k)
(3)
=int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piikx)dx
(4)

被稱為正向 (-i) 傅立葉變換，而

f(x)=F_k^(-1)[F(k)](x)
(5)
=int_(-infty)^inftyF(k)e^(2piikx)dk
(6)

被稱為逆向 (+i) 傅立葉變換。Trott (2004, p. xxxiv) 引入了符號 F_x[f(x)](k)，並且有時也使用 f^^(k) 和 f^_(x) 分別表示傅立葉變換和逆傅立葉變換（Krantz 1999, p. 202）。

請注意，一些作者（尤其是物理學家）更喜歡用角頻率 omega=2pinu 而不是振盪頻率 nu 來表示變換。然而，這破壞了對稱性，導致變換對為

H(omega)=F[h(t)]
(7)
=int_(-infty)^inftyh(t)e^(-iomegat)dt
(8)
h(t)=F^(-1)[H(omega)]
(9)
=1/(2pi)int_(-infty)^inftyH(omega)e^(iomegat)domega.
(10)

為了恢復變換的對稱性，有時使用約定

g(y)=F[f(t)]
(11)
=1/(sqrt(2pi))int_(-infty)^inftyf(t)e^(-iyt)dt
(12)
f(t)=F^(-1)[g(y)]
(13)
=1/(sqrt(2pi))int_(-infty)^inftyg(y)e^(iyt)dy
(14)

（Mathews 和 Walker 1970, p. 102）。

一般來說，傅立葉變換對可以使用兩個任意常數 a 和 b 定義為

F(omega)=sqrt((|b|)/((2pi)^(1-a)))int_(-infty)^inftyf(t)e^(ibomegat)dt
(15)
f(t)=sqrt((|b|)/((2pi)^(1+a)))int_(-infty)^inftyF(omega)e^(-ibomegat)domega.
(16)

函式 f(x) 的傅立葉變換 F(k) 在 Wolfram 語言 中實現為FourierTransform[f, x, k]，並且可以透過傳遞可選的FourierParameters->{a, b} 選項來使用不同的 a 和 b 選擇。預設情況下，Wolfram 語言 採用FourierParameters為 (0,1)。不幸的是，許多其他約定也被廣泛使用。例如，(0,1) 用於現代物理學，(1,-1) 用於純數學和系統工程，(1,1) 用於機率論中計算特徵函式，(-1,1) 用於經典物理學，而 (0,-2pi) 用於訊號處理。在這項工作中，按照 Bracewell (1999, pp. 6-7) 的說法，總是假設 a=0 和 b=-2pi，除非另有說明。這種選擇通常會大大簡化常見函式（如 1，cos(2pik_0x) 等）的變換。

由於任何函式都可以分解為偶部分和奇部分 E(x) 和 O(x)，

f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]
(17)
=E(x)+O(x),
(18)

傅立葉變換始終可以用傅立葉餘弦變換和傅立葉正弦變換表示為

F_x[f(x)](k)=int_(-infty)^inftyE(x)cos(2pikx)dx-iint_(-infty)^inftyO(x)sin(2pikx)dx.
(19)

函式 f(x) 具有正向和逆向傅立葉變換，使得

f(x)={int_(-infty)^inftye^(2piikx)[int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piikx)dx]dk for f(x) continuous at x; 1/2[f(x_+)+f(x_-)] for f(x) discontinuous at x,
(20)

前提是

1. int_(-infty)^infty|f(x)|dx 存在。

2. 存在有限數量的不連續點。

3. 函式具有有界變差。一個充分但較弱的條件是滿足李普希茨條件

（Ramirez 1985, p. 29）。函式越平滑（即，連續導數的數量越多），其傅立葉變換就越緊湊。

傅立葉變換是線性的，因為如果 f(x) 和 g(x) 具有傅立葉變換 F(k) 和 G(k)，則

int[af(x)+bg(x)]e^(-2piikx)dx=aint_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piikx)dx+bint_(-infty)^inftyg(x)e^(-2piikx)dx
(21)
=aF(k)+bG(k).
(22)

因此，

F[af(x)+bg(x)]=aF[f(x)]+bF[g(x)]
(23)
=aF(k)+bG(k).
(24)

傅立葉變換也是對稱的，因為 F(k)=F_x[f(x)](k) 意味著 F(-k)=F_x[f(-x)](k)。

設 f*g 表示卷積，則函式卷積的變換具有特別好的變換，

F[f*g]=F[f]F[g]
(25)
F[fg]=F[f]*F[g]
(26)
F^(-1)[F(f)F(g)]=f*g
(27)
F^(-1)[F(f)*F(g)]=fg.
(28)

第一個的推導如下

F[f*g]=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftye^(-2piikx)f(x^')g(x-x^')dx^'dx
(29)
=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^infty[e^(-2piikx^')f(x^')dx^'][e^(-2piik(x-x^'))g(x-x^')dx]
(30)
=[int_(-infty)^inftye^(-2piikx^')f(x^')dx^'][int_(-infty)^inftye^(-2piikx^(''))g(x^(''))dx^('')]
(31)
=F[f]F[g],
(32)

其中 x^('')=x-x^'。

在自相關和傅立葉變換之間也存在一個有些令人驚訝且極其重要的關係，稱為維納-辛欽定理。設 F_x[f(x)](k)=F(k)，並且 f^_ 表示 f 的複共軛，則 F(k) 的絕對平方的傅立葉變換由下式給出

F_k[|F(k)|^2](x)=int_(-infty)^inftyf^_(tau)f(tau+x)dtau.
(33)

函式 f(x) 的導數 f^'(x) 的傅立葉變換與其自身函式 f(x) 的變換簡單相關。考慮

F_x[f^'(x)](k)=int_(-infty)^inftyf^'(x)e^(-2piikx)dx.
(34)

現在使用分部積分法

intvdu=[uv]-intudv
(35)

其中

du=f^'(x)dx
(36)
v=e^(-2piikx)
(37)

和

u=f(x)
(38)
dv=-2piike^(-2piikx)dx,
(39)

則

F_x[f^'(x)](k)=[f(x)e^(-2piikx)]_(-infty)^infty-int_(-infty)^inftyf(x)(-2piike^(-2piikx)dx).
(40)

第一項由一個振盪函式乘以 f(x) 組成。但是如果函式是有界的，使得

lim_(x->+/-infty)f(x)=0
(41)

（正如任何物理上重要的訊號必須如此），那麼該項消失，留下

F_x[f^'(x)](k)=2piikint_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piikx)dx
(42)
=2piikF_x[f(x)](k).
(43)

對於 n 階導數，可以迭代此過程以產生

F_x[f^((n))(x)](k)=(2piik)^nF_x[f(x)](k).
(44)

傅立葉變換的重要調製定理允許 F_x[cos(2pik_0x)f(x)](k) 用 F_x[f(x)](k)=F(k) 表示如下，

F_x[cos(2pik_0x)f(x)](k)=int_(-infty)^inftyf(x)cos(2pik_0x)e^(-2piikx)dx
(45)
=1/2int_(-infty)^inftyf(x)e^(2piik_0x)e^(-2piikx)dx+1/2int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2piik_0x)e^(-2piikx)dx
(46)
=1/2int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2pii(k-k_0)x)dx+1/2int_(-infty)^inftyf(x)e^(-2pii(k+k_0)x)dx
(47)
=1/2[F(k-k_0)+F(k+k_0)].
(48)

由於傅立葉變換的導數由下式給出

F^'(k)=d/(dk)F_x[f(x)](k)=int_(-infty)^infty(-2piix)f(x)e^(-2piikx)dx,
(49)

因此得出

F^'(0)=-2piiint_(-infty)^inftyxf(x)dx.
(50)

迭代得到一般公式

mu_n=int_(-infty)^inftyx^nf(x)dx
(51)
=(F^((n))(0))/((-2pii)^n).
(52)

傅立葉變換的方差為

sigma_f^2=<(xf-<xf>)^2>,
(53)

並且以下等式成立

sigma_(f+g)=sigma_f+sigma_g.
(54)

如果 f(x) 具有傅立葉變換 F_x[f(x)](k)=F(k)，則傅立葉變換具有平移性質

int_(-infty)^inftyf(x-x_0)e^(-2piikx)dx=int_(-infty)^inftyf(x-x_0)e^(-2pii(x-x_0)k)e^(-2pii(kx_0))d(x-x_0)
(55)
=e^(-2piikx_0)F(k),
(56)

因此 f(x-x_0) 具有傅立葉變換

F_x[f(x-x_0)](k)=e^(-2piikx_0)F(k).
(57)

如果 f(x) 具有傅立葉變換 F_x[f(x)](k)=F(k)，則傅立葉變換服從相似性定理。

int_(-infty)^inftyf(ax)e^(-2piikx)dx=1/(|a|)int_(-infty)^inftyf(ax)e^(-2pii(ax)(k/a))d(ax)=1/(|a|)F(k/a),
(58)

因此 f(ax) 具有傅立葉變換

F_x[f(ax)](k)=|a|^(-1)F(k/a).
(59)

傅立葉變換的“等效寬度”為

w_e=(int_(-infty)^inftyf(x)dx)/(f(0))
(60)
=(F(0))/(int_(-infty)^inftyF(k)dk).
(61)

“自相關寬度”為

w_a=(int_(-infty)^inftyf*f^_dx)/([f*f^_]_0)
(62)
=(int_(-infty)^inftyfdxint_(-infty)^inftyf^_dx)/(int_(-infty)^inftyff^_dx),
(63)

其中 f*g 表示 f 和 g 的互相關，並且 f^_ 是複共軛。

對 f(x) 的任何操作，只要其面積保持不變，就會使 F(0) 保持不變，因為

int_(-infty)^inftyf(x)dx=F_x[f(x)](0)=F(0).
(64)

下表總結了一些常見的傅立葉變換對。

函式f(x)F(k)=F_x[f(x)](k)
傅立葉變換--11delta(k)
傅立葉變換--餘弦cos(2pik_0x)1/2[delta(k-k_0)+delta(k+k_0)]
傅立葉變換--狄拉克δ函式delta(x-x_0)e^(-2piikx_0)
傅立葉變換--指數函式e^(-2pik_0|x|)1/pi(k_0)/(k^2+k_0^2)
傅立葉變換--高斯函式e^(-ax^2)sqrt(pi/a)e^(-pi^2k^2/a)
傅立葉變換--單位階躍函式H(x)1/2[delta(k)-i/(pik)]
傅立葉變換--反函式-PV1/(pix)i[1-2H(-k)]
傅立葉變換--洛倫茲函式1/pi(1/2Gamma)/((x-x_0)^2+(1/2Gamma)^2)e^(-2piikx_0-Gammapi|k|)
傅立葉變換--斜坡函式R(x)piidelta^'(2pik)-1/(4pi^2k^2)
傅立葉變換--正弦sin(2pik_0x)1/2i[delta(k+k_0)-delta(k-k_0)]

在二維中，傅立葉變換變為

F(x,y)=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyf(k_x,k_y)e^(-2pii(k_xx+k_yy))dk_xdk_y
(65)
f(k_x,k_y)=int_(-infty)^inftyint_(-infty)^inftyF(x,y)e^(2pii(k_xx+k_yy))dxdy.
(66)

類似地，可以為 k, x in R^n 定義 n 維傅立葉變換，如下所示

F(x)=int_(-infty)^infty...int_(-infty)^infty_()_(n)f(k)e^(-2piik·x)d^nk
(67)
f(k)=int_(-infty)^infty...int_(-infty)^infty_()_(n)F(x)e^(2piik·x)d^nx.
(68)

參見

自相關, 卷積, 離散傅立葉變換, 快速傅立葉變換, 傅立葉級數, 傅立葉-斯蒂爾傑斯變換, 傅立葉變換--1, 傅立葉變換--餘弦, 傅立葉變換--狄拉克δ函式, 傅立葉變換--指數函式, 傅立葉變換--高斯函式, 傅立葉變換--單位階躍函式, 傅立葉變換--反函式, 傅立葉變換--洛倫茲函式, 傅立葉變換--斜坡函式, 傅立葉變換--矩形函式, 分數傅立葉變換, 漢克爾變換, 哈特利變換, 積分變換, 拉普拉斯變換, 帕塞瓦爾定理, 結構因子, 維納-辛欽定理, 維諾格拉德變換 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

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在 中引用

傅立葉變換

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "傅立葉變換。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FourierTransform.html

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