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哈特利變換

哈特利變換是一種積分變換，它與傅立葉變換有一些共同的特點，但在最常見的約定中，它將積分核乘以

cas(2pinut)=cos(2pinut)+sin(2pinut)
(1)

而不是乘以 e^(-2piift)，得到變換對

H(f)=int_(-infty)^inftyV(t)cas(2pift)dt
(2)
V(t)=int_(-infty)^inftyH(f)cas(2pift)df
(3)

(Bracewell 1986, 第 10 頁, Bracewell 1999, 第 179 頁)。

哈特利變換對於實數輸入產生實數輸出，並且是其自身的逆變換。因此，它可能比離散傅立葉變換具有計算優勢，儘管哈特利變換的解析表示式通常更復雜。

在離散情況下，核乘以

cos((2pikn)/N)+sin((2pikn)/N)
(4)

而不是

e^(-2piikn/N)=cos((2pikn)/N)-isin((2pikn)/N).
(5)

哈特利變換的離散版本——使用另一種約定，其中加號被減號正弦代替——可以顯式地寫成

H[a]=1/(sqrt(N))sum_(n=0)^(N-1)a_n[cos((2pikn)/N)-sin((2pikn)/N)]
(6)
=RF[a]-IF[a],
(7)

其中 F 表示傅立葉變換。哈特利變換服從卷積性質

H[a*b]_k=1/2(A_kB_k-A^__kB^__k+A_kB^__k+A^__kB_k),
(8)

其中

a^__0=a_0
(9)
a^__(n/2)=a_(n/2)
(10)
a^__k=a_(n-k).
(11)

像快速傅立葉變換一樣，哈特利變換也有一個“快速”版本。一種時間抽取演算法利用了

H_n^(left)[a]=H_(n/2)[a^(even)]+XH_(n/2)[a^(odd)]
(12)
H_n^(right)[a]=H_(n/2)[a^(even)]-XH_(n/2)[a^(odd)],
(13)

其中 X 表示元素為以下內容的序列

a_ncos((pin)/N)-a^__nsin((pin)/N).
(14)

一種頻率抽取演算法利用了

H_n^(even)[a]=H_(n/2)[a^(left)+a^(right)]
(15)
H_n^(odd)[a]=H_(n/2)[X(a^(left)-a^(right))].
(16)

離散傅立葉變換

A_k=F[a]=sum_(n=0)^(N-1)e^(-2piikn/N)a_n
(17)

可以寫成

[A_k; A_(-k)]=sum_(n=0)^(N-1)[e^(-2piikn/N) 0; 0 e^(2piikn/N)]_()_(F)[a_n; a_n]
(18)
=sum_(n=0)^(N-1)1/2[1-i 1+i; 1+i 1-i]_()_(T^(-1))[cos((2pikn)/N) sin((2pikn)/N); -sin((2pikn)/N) cos((2pikn)/N)]_()_(H)1/2[1+i 1-i; 1-i 1+i]_()_(T)[a_n; a_n],
(19)

因此

F=T^(-1)HT.
(20)

另請參閱

離散傅立葉變換, 快速傅立葉變換, 傅立葉變換

使用 探索

參考文獻

Arndt, J. “哈特利變換 (HT)。” “關於 FFT 演算法的評論” 中的第 2 章。 http://www.jjj.de/fxt/。Bracewell, R. N. 傅立葉變換及其應用，第 3 版。紐約：McGraw-Hill，1999。Bracewell, R. N. 哈特利變換。紐約：牛津大學出版社，1986。

在 中被引用

哈特利變換

請引用為

Weisstein, Eric W. “哈特利變換。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/HartleyTransform.html

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