離散傅立葉變換 -- 來自

連續傅立葉變換定義為

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現在考慮推廣到離散函式的情況，透過令，其中，其中 , ..., 。寫出來得到離散傅立葉變換 $F_n=F_k[{f_k}_(k=0)^(N-1)](n)$ 為

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逆變換 $f_k=F_n^(-1)[{F_n}_(n=0)^(N-1)](k)$ 然後是

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離散傅立葉變換 (DFT) 非常有用，因為它們揭示了輸入資料中的週期性以及任何週期性成分的相對強度。然而，在解釋離散傅立葉變換時存在一些微妙之處。一般來說，實數序列的離散傅立葉變換將是相同長度的複數序列。特別地，如果是實數，那麼和透過下式相關

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對於 , 1, ..., ，其中表示複共軛。這意味著對於實數資料，分量始終是實數。

由於上述關係，週期函式將在兩個位置而不是一個位置包含變換後的峰值。發生這種情況是因為輸入資料的週期被分成“正”和“負”頻率複數分量。

快速傅立葉變換是一種特別高效的演算法，用於執行包含特定點數的樣本的離散傅立葉變換。

可能影響離散傅立葉變換的兩種主要誤差型別是：混疊和洩漏。

上面的圖顯示了函式（左圖）和（右圖）在兩個週期內取樣 50 次的離散傅立葉變換的實部（紅色）、虛部（藍色）和復模（綠色）。在左圖中，左側和右側的對稱尖峰是單個正弦波的“正”和“負”頻率分量。類似地，在右圖中，有兩對尖峰，較大的綠色尖峰對應於較低頻率的較強分量，較小的綠色尖峰對應於較高頻率的較弱分量。離散傅立葉變換的復模的適當縮放圖通常稱為功率譜。