主題
Search

複共軛


複數 z=a+bi 的複共軛定義為

 z^_=a-bi.
(1)

矩陣 A=(a_(ij))共軛矩陣是透過將每個元素 a_(ij) 替換為其複共軛 A^_=(a^__(ij)) 得到的矩陣 (Arfken 1985, p. 210)。

複共軛在 Wolfram 語言 中實現為Conjugate[z]。

請注意,複共軛有幾種常用符號。應用物理學和工程學教材傾向於使用 z^*,而大多數現代數學和理論物理學教材則偏愛 z^_。不幸的是,符號 z^* 也常用於表示伴隨運算元矩陣。由於這些相互矛盾的約定,查閱文獻時需要謹慎。在本文中,z^_ 用於表示複共軛。

下表總結了複共軛的常用符號約定。

符號參考文獻
z^_本文;Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 16), Anton (2000, p. 528), Harris 和 Stocker (1998, p. 21), Golub 和 Van Loan (1996, p. 15), Kaplan (1981, p. 28), Kaplan (1992, p. 572), Krantz (1999, p. 2), Kreyszig (1988, p. 568), Roman (1987, p. 534), Strang (1988, p. 220), Strang (1993)
z^*Arfken (1985, p. 356), Bekefi 和 Barrett (1987, p. 616), Press et al. (1989, p. 397), Harris 和 Stocker (1998, p. 21), Hecht (1998, p. 18), Herkommer (1999, p. 262)

線上性代數中,通常對同一個矩陣應用複共軛和轉置。透過這種組合運算從給定矩陣 A 獲得的矩陣通常稱為 共軛轉置 A^(H) A。然而,術語伴隨矩陣、附加矩陣、埃爾米特共軛和埃爾米特伴隨也被使用,符號 A^|A^* 也是如此。在本文中,A^(H) 用於表示共軛轉置矩陣,a^| 用於表示伴隨運算元。

根據定義,複共軛滿足

 z^_^_=z.
(2)

複共軛在複數加法下是可分配的

 z_1+z_2^_=z^__1+z^__2,
(3)

因為

(a_1+ib_1)+(a_2+ib_2)^_=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)^_
(4)
=(a_1+a_2)-i(b_1+b_2)
(5)
=(a_1-ib_1)+(a_2-ib_2)
(6)
=a_1+ib_1^_+a_2+ib_2^_,
(7)

並且在複數乘法上是可分配的

 z_1z_2^_=z^__1z^__2,
(8)

因為

(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)^_=(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+a_2b_1)^_
(9)
=(a_1a_2-b_1b_2)-i(a_1b_2+a_2b_1)
(10)
=(a_1-ib_1)(a_2-ib_2)
(11)
=a_1+ib_1^_ a_2+ib_2^_.
(12)

參見

複數加法, 複分析, 複數除法, 複數指數, 複數模量, 複數乘法, 複數, 複數減法, 共軛矩陣, 共軛轉置 在 課堂中探索此主題

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Conjugate/

在 中探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). 數學函式手冊,包含公式、圖表和數學表格,第 9 版. New York: Dover, p. 16, 1972.Anton, H. 初等線性代數,第 8 版. New York: Wiley, 2000.Arfken, G. 物理學家的數學方法,第 3 版. Orlando, FL: Academic Press, pp. 355-356, 1985.Bekefi, G. 和 Barrett, A. H. 電磁振盪、波和輻射. Cambridge, MA: MIT Press, p. 616, 1987.Golub, G. 和 Van Loan, C. 矩陣計算,第 3 版. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, 1996.Hecht, E. 光學,第 3 版. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 18, 1998.Herkommer, M. A. 數論:程式設計師指南. New York: McGraw-Hill, p. 262, 1999.Harris, J. W. 和 Stocker, H. 數學和計算科學手冊. New York: Springer-Verlag, p. 21, 1998.Kaplan, W. 高等微積分,第 4 版. Reading, MA: Addison-Wesley, 1992.Kaplan, W. 工程師高等數學. Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.Krantz, S. G. "複共軛." §1.1.3 in 復變數手冊. Boston, MA: Birkhäuser, p. 2, 1999.Kreyszig, E. 高等工程數學,第 6 版. New York: Wiley, p. 568, 1988.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. FORTRAN 數值菜譜:科學計算的藝術,第 2 版. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1989.Roman, S. "複數的共軛和複數除法." §11.2 in 大學代數和三角學. San Diego, CA: Harcourt, Brace, Jovanovich, pp. 534-541, 1987.Strang, G. 線性代數導論. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 1993.Strang, G. 線性代數及其應用,第 3 版. Philadelphia, PA: Saunders, 1988.

在 上引用

複共軛

請引用為

Weisstein, Eric W. "複共軛." 來自 --一個 資源. https://mathworld.tw/ComplexConjugate.html

學科分類