複數

複數是 域 ，是 形如 的數字，其中 和 是 實數，而 i 是 虛數單位，等於 平方根 ，。當使用單個字母 表示複數時，有時稱為“附標”。在分量表示法中， 可以寫成 。域 複數包括 域 實數 作為 子域。

複數集在 Wolfram 語言 中實現為Complexes。數字 然後可以被測試以檢視它是否是複數，使用命令Element[x,Complexes]，並且作為複數的表示式具有Head的Complex.

複數是有用的抽象量，可以用於計算併產生物理上有意義的解。然而，認識到這一事實是數學家們花了很長時間才接受的。例如，約翰·沃利斯寫道：“這些虛數（通常被稱為）從負平方的假定根（當它們發生時）被認為意味著所提出的情況是不可能的”（Wells 1986，第 22 頁）。

透過 尤拉公式，複數

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可以寫成“相量”形式

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這裡， 被稱為 複數模（或有時稱為複數範數），而 被稱為 複數輻角 或 相位。上面的圖顯示了所謂的 阿根圖，表示點 ，其中虛線圓表示 複數模 的 ，角度 表示其 複數輻角。從歷史上看，複數作為平面中一個點的幾何表示非常重要，因為它使複數的整個概念更容易接受。特別是，“虛數”部分地透過其視覺化而被接受。

與實數不同，複數沒有自然的排序，因此沒有複數值不等式的類似物。然而，當將它們視為 複平面 中的元素時，這個性質並不令人驚訝，因為平面中的點也缺乏自然的排序。

絕對平方 定義為 ，其中 是 複共軛，並且輻角可以從下式計算

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實部 和 虛部 由下式給出

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棣莫弗恆等式 關聯了複數的 冪，對於實數 ，透過

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複數 的 冪 到正整數指數 可以寫成閉合形式

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前幾個顯式地是

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（Abramowitz 和 Stegun 1972）。

複數加法

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複數減法

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複數乘法

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和 複數除法

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也可以為複數定義。複數也可以取複數冪。例如，複數指數運算 遵循

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其中 是 複數輻角。