主題
Search

相量

工程師和物理學家喜愛的，用復指數表示複數的方法

x+iy=|z|e^(iphi),
(1)

其中 i （工程師稱為 j）是虛數，復模和復角（也稱為相位）是

|z|=sqrt(x^2+y^2)
(2)
phi=tan^(-1)(y/x).
(3)

這裡，phi（有時也表示為 theta）被稱為復角或相位。它對應於從正實軸逆時針角度，即 phi 的值，使得 x=|z|cosphi 和 y=|z|sinphi。這裡使用的特殊反正切考慮了 z 所在的象限，並由以下命令返回FORTRAN命令ATAN2(Y,X)和 Wolfram 語言 函式ArcTan[x, y]，並且通常限制在 -pi<theta<=pi 範圍內。在 x=0 的退化情況下，

phi={-1/2pi if y<0; undefined if y=0; 1/2pi if y>0.
(4)

以下等式是顯然成立的

sum_(i)R[psi_i]=R[sum_(i)psi_i].
(5)

現在考慮一個標量函式 psi=psi_0e^(iphi)。那麼

I=[R(psi)]^2
(6)
=[1/2(psi+psi^_)]^2
(7)
=1/4(psi+psi^_)^2
(8)
=1/4(psi^2+2psipsi^_+psi^_^2),
(9)

其中 psi^_ 是複共軛。檢視每個項的時間平均值，

<psi^2>=<psi_0^2e^(2iphi)>
(10)
=psi_0^2<e^(2iphi)>
(11)
=0
(12)
<psipsi^_>=<psi_0e^(iphi)psi_0e^(-iphi)>
(13)
=psi_0^2
(14)
=|psi|^2
(15)
<psi^_^2>=<psi_0^2e^(-2iphi)>
(16)
=psi_0^2<e^(-2iphi)>
(17)
=0.
(18)

因此，

<I>=1/2|psi|^2.
(19)

現在考慮兩個標量函式

psi_1=psi_(1,0)e^(i(kr_1+phi_1))
(20)
psi_2=psi_(2,0)e^(i(kr_2+phi_2)).
(21)

那麼

I=[R(psi_1)+R(psi_2)]^2
(22)
=1/4[(psi_1+psi^__1)+(psi_2+psi^__2)]^2
(23)
=1/4[(psi_1+psi^__1)^2+(psi_2+psi^__2)^2+2(psi_1psi_2+psi_1psi^__2+psi^__1psi_2+psi^__1psi^__2)]
(24)
<I>=1/4[2psi_1psi^__1+2psi_2psi^__2+2psi_1psi^__2+2psi^__1psi_2]
(25)
=1/2[psi_1(psi^__1+psi^__2)+psi_2(psi^__1+psi^__2)]
(26)
=1/2(psi_1+psi_2)(psi^__1+psi^__2)=1/2|psi_1+psi_2|^2.
(27)

一般來說，

<I>=1/2|sum_(i=1)^npsi_i|^2.
(28)

另請參閱

Affix, Cis, 復角, 復模, 複數乘法, 複數, 指數函式, 反正切, 相位, 向量大小

使用 探索

參考文獻

Krantz, S. G. "複數的極座標形式。" §1.2.4 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 8-10, 1999.

在 上被引用

相量

請引用為

Weisstein, Eric W. “相量。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Phasor.html

主題分類