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絕對值的平方

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一個複數 z 的絕對值的平方，也稱為平方範數，定義為

|z|^2=zz^_,
(1)

其中 z^_ 表示 z 的複共軛，而 |z| 是復模量。

如果複數寫成 z=x+iy，其中 x 和 y 是實數，那麼絕對值的平方可以寫成

|x+iy|^2=x^2+y^2.
(2)

如果 z=x+0i 是一個實數，那麼 (1) 簡化為

|z|^2=x^2.
(3)

絕對值的平方可以使用 Wolfram 語言 命令根據 x 和 y 計算ComplexExpand[Abs[z]^2, TargetFunctions ->{Conjugate}].

一個涉及絕對值的平方的重要恆等式由下式給出

|a+/-be^(-idelta)|^2=(a+/-be^(-idelta))(a+/-be^(idelta))
(4)
=a^2+b^2+/-ab(e^(idelta)+e^(-idelta))
(5)
=a^2+b^2+/-2abcosdelta.
(6)

如果 a=1，那麼 (6) 變為

|1+/-be^(-idelta)|^2=1+b^2+/-2bcosdelta
(7)
=(1+/-b)^2∓4bsin^2(1/2delta).
(8)

如果 a=1，且 b=1，那麼

|1-e^(-idelta)|^2=4sin^2(1/2delta).
(9)

最後，

|e^(iphi_1)+e^(iphi_2)|^2=(e^(iphi_1)+e^(iphi_2))(e^(-iphi_1)+e^(-iphi_2))
(10)
=2[1+cos(phi_2-phi_1)]
(11)
=4cos^2[1/2(phi_2-phi_1)].
(12)

另請參閱

復角, 復模量, 複數, 虛部, 實部, 符號

使用 探索

請引用為

Weisstein, Eric W. "絕對值的平方。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/AbsoluteSquare.html

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