矩陣

矩陣是一種簡潔而有用的方式，可以唯一地表示和處理線性變換。特別是，每個線性變換都可以用矩陣表示，並且每個矩陣都對應於唯一的線性變換。矩陣及其近親行列式是線性代數中極其重要的概念，最早由 Sylvester (1851) 和 Cayley 提出。

在他 1851 年的論文中，Sylvester 寫道：“為此目的，我們必須從一個非正方形的項的矩形排列開始，假設由 行和 列組成。這本身並不代表行列式，但它本身就是一個矩陣，我們可以從中透過確定一個數字 並隨意選擇 行和 列來形成各種行列式系統，即 階的方陣。” 由於 Sylvester 對由數字的矩形陣列形成的行列式感興趣，而不是對陣列本身感興趣（Kline 1990，第 804 頁），因此 Sylvester 使用術語“矩陣”的傳統用法來表示“其他事物起源的地方”（Katz 1993）。Sylvester (1851) 隨後非正式地使用了術語矩陣，並指出“形成由 行和 列組成的矩形矩陣……。然後，透過隨意從此矩陣中刪除任何一列而形成的 個行列式都恆為零。” 然而，仍然由 Sylvester 的合作者 Cayley 在 1855 年和 1858 年的論文中以現代形式使用該術語（Katz 1993）。

在他 1867 年關於行列式的專著中，C. L. Dodgson (Lewis Carroll) 反對使用術語“矩陣”，並指出：“我知道“矩陣”一詞已被用於表達我使用“塊”一詞的含義；但當然，前一個詞更多地是指代數量可以引入的模具或形式，而不是此類量的實際集合……” 然而，Dodgson 的反對意見未被理睬，術語“矩陣”仍然保留了下來。

由方程組給出的變換

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)

表示為矩陣方程：

(5)

其中 稱為矩陣元素。

一個 矩陣由 行和 列組成，具有實係數的 矩陣集合有時表示為 。為了記住哪個索引指的是哪個方向，請識別最後一個（即右下角）項的索引，因此上述矩陣中最後一個元素 的索引 將其標識為一個 矩陣。請注意，雖然此約定與用於表示畫布上繪畫的尺寸測量（高度在前，寬度在後）的約定匹配，但它與測量紙張、房間尺寸和窗戶所用的約定相反（其中寬度在前，高度在後；例如，8 1/2 英寸乘 11 英寸的紙張寬度為 8 1/2 英寸，高度為 11 英寸）。

如果 ，則矩陣稱為方陣；如果 ，則矩陣稱為矩形矩陣。一個 矩陣稱為列向量，一個 矩陣稱為行向量。特殊型別的方陣包括單位矩陣 ，其中 （其中 是克羅內克 delta）和對角矩陣 （其中 是一組常數）。

在本文中，矩陣使用方括號作為分隔符表示，但在一般文獻中，它們更常使用圓括號分隔。後一種約定引入了不幸的符號歧義，即形式為 的矩陣與二項式係數

(6)

在本文中以符號形式引用時，矩陣以無襯線字體表示，例如 、 等。在這種簡潔的符號中，方程 (5) 中給出的變換可以寫成

(7)

其中 和 是向量， 是矩陣。還存在許多其他符號約定，一些作者更喜歡斜體字型。

有時方便地用矩陣元素來表示整個矩陣。因此，矩陣 的第 個元素可以寫成 ，而由條目 組成的矩陣可以寫成 ，或簡寫為 。

兩個矩陣可以相加（矩陣加法）或相乘（矩陣乘法）以產生一個新的矩陣。單個矩陣的其他常見運算是矩陣對角化、矩陣求逆和轉置。

矩陣 的行列式 或 是一個非常重要的量，它出現在許多不同的應用中。 方陣的對角線元素的和稱為矩陣跡 ，它也是許多型別計算中的一個重要量。