矩陣乘法

兩個矩陣 和 的乘積 定義為

(1)

其中對 求和， 的值取所有可能值，上面的符號使用了 愛因斯坦求和 約定。在沒有顯式求和符號的情況下，對重複索引的隱含求和稱為 愛因斯坦求和，在矩陣和張量分析中都很常用。因此，為了定義矩陣乘法，矩陣的維度必須滿足

(2)

其中 表示一個具有 行和 列的矩陣。顯式地寫出乘積，

(3)

其中

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矩陣乘法是結合律的，可以透過以下方式看出

(13)

其中再次使用了愛因斯坦求和。現在，由於 、 和 是標量，使用標量乘法的結合律來寫

(14)

由於這對所有 和 都成立，因此必定有

(15)

也就是說，矩陣乘法是結合律的。因此，方程 (13) 可以寫成

(16)

沒有歧義。由於結合律，矩陣在乘法下形成一個半群。

矩陣乘法也是分配律的。如果 和 是 矩陣，並且 和 是 矩陣，則

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由於 矩陣在加法下形成一個阿貝爾群， 矩陣形成一個環。

然而，矩陣乘法通常不是交換律的（儘管如果 和 是對角矩陣且維度相同，則是交換律的）。

兩個分塊矩陣的乘積是透過乘以每個分塊給出的

(19)