線性變換

兩個向量空間 和 之間的線性變換是一個對映 ，滿足以下條件

1. 對於 向量 和 在 中，以及

2. 對於任何標量 。

線性變換可以是單射或滿射，也可能不是。當 和 具有相同的維數時， 可能是可逆的，這意味著存在一個 使得 。總是成立 。此外，線性變換總是將直線對映到直線（或零）。

線性變換的主要例子由矩陣乘法給出。給定一個 矩陣 ，定義 ，其中 被寫成列向量（具有 個座標）。例如，考慮

(1)

那麼 是從 到 的線性變換，定義為

(2)

當 和 是有限維的時，只有在指定 和 的向量基之後，才能將一般線性變換寫成矩陣乘法。當 和 具有內積，並且它們的向量基 和 是正交歸一的時，很容易寫出相應的矩陣 。特別地，。請注意，當使用 和 的標準基時，第 列對應於第 個標準基向量的影像。

當 和 是無限維的時，線性變換可能不是連續的。例如，設 為單變數多項式空間， 為導數。那麼 ，這不是連續的，因為 而 不收斂。

線性二維變換有一個簡單的分類。考慮二維線性變換

			(3)
			(4)

現在透過定義 和 來重新縮放。那麼上述方程變為

(5)

其中 並且 、、 和 是根據舊常數定義的。求解 得到

(6)

因此變換是一對一的。要找到變換的不動點，設定 以獲得

(7)

這給出了兩個不動點，它們可能是不同的或重合的。不動點分類如下。

變數	型別
	雙曲不動點
	橢圓不動點
	拋物線不動點