向量基

向量空間 的向量基定義為向量子集 ，這些向量在 中是線性無關的，並且張成 。因此，如果 是 中的向量列表，那麼這些向量構成向量基當且僅當每個 可以唯一地寫成

(1)

其中 , ..., 是基域的元素。

當基域為實數時，使得 對於 ，得到的基向量是張成 維歐幾里得空間 的 元組實數。其他可能的基域包括複數 ，以及代數、數論和代數幾何中考慮的各種正特徵域。

向量空間 有許多不同的向量基，但每個基中總是具有相同數量的基向量。 中基向量的數量稱為 的維度。向量空間中的每個張成列表都可以簡化為向量空間的基。

向量基最簡單的例子是 歐幾里得空間 中的標準基，其中基向量沿著每個座標軸。基變換可以用於將給定基中的向量（和算符）變換到另一個基中。

給定一個由下式定義的超平面

(2)

可以透過求解 關於 、、 和 的表示式來找到基。執行此過程，

(3)

因此

(4)

並且上述向量構成（未歸一化的）基。

給定一個具有標準正交基的矩陣 ，用原始 表示的基變換對應的矩陣為

(5)

當向量空間是無限維時，只要假設選擇公理，就存在基。基的線性無關子集，其張成是稠密的，稱為完全集，類似於基。當 是希爾伯特空間時，完全集稱為希爾伯特基。