向量

向量被正式定義為向量空間的元素。在常見的向量空間 (即，歐幾里得n-維空間) 中，向量由 個座標給出，可以表示為 。向量有時根據其座標的數量來稱呼，因此二維向量 通常稱為二向量，-維向量通常稱為 n-向量，等等。

向量可以相加（向量加法）、相減（向量減法）和與標量相乘（標量乘法）。向量乘法不是唯一確定的，但是可以為向量對定義許多不同型別的乘積，例如點積、叉積和張量直積。

從點 到點 的向量表示為 ，向量 可以表示為 ，或更常見的 。點 通常稱為向量的“尾”，而 稱為向量的“頭”。長度為 1 的向量稱為單位向量，並使用帽 表示。

當以分量形式寫出時，符號 通常指 。另一方面，當帶有下標時，符號 (或 ) 通常指 。

任意向量可以透過除以其範數（即，長度；即，模）來轉換為單位向量，

(1)

得到

(2)

零向量，表示為 ，是長度為 0 的向量，因此所有分量都等於零。

由於向量在平移下保持不變，因此通常方便地將尾 視為位於原點，例如，在定義向量加法和標量乘法時。

向量也可以定義為一組 個數字 , ..., ，這些數字根據以下規則變換

(3)

其中使用了愛因斯坦求和約定符號，

(4)

是常數（對應於方向餘弦），偏導數是相對於原始和變換後的座標軸取得的，並且 , ..., (Arfken 1985, p. 10)。這使得向量成為張量的張量秩為一。具有 個分量的向量稱為 -向量，而標量因此可以被認為是 1-向量（或 0-張量秩 張量）。向量在平移下是不變的，並且它們在反演時反號。類似於向量但不反演時反號的物件稱為偽向量。為了區分向量和偽向量，前者有時稱為極向量。

向量在Wolfram 語言中表示為數字列表 a1, a2, ..., an。向量加法然後簡單地使用加號書寫，例如，a1, a2, ..., an+b1, b2, ..., bn ，而標量乘法透過將標量放在向量旁邊（帶或不帶可選星號）來表示，sa1, a2, ..., an。

設 是在球座標中定義的單位向量，由下式給出

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那麼 的 -分量在單位球表面上的平均值由下式給出

			(6)
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更普遍地，

(9)

對於 、 或 （索引為 1、2、3），並且

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給定向量 、、、，許多量在單位球上的平均值由下式給出

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和

(18)

其中 是克羅內克 delta， 是點積，並且使用了愛因斯坦求和。

對映 ，它將每個 分配給一個向量函式 ，稱為向量場。