方向餘弦

設 為 角 和 之間的角， 為 角 和 之間的角，且 為 角 和 之間的角。則方向餘弦等價於 的 單位向量 的座標，

從這些定義，可以得到

要找到在方向餘弦上執行積分時的 雅可比行列式，請使用

雅可比行列式 是

使用

因此

方向餘弦也可以在兩組 笛卡爾座標系 之間定義，

未加撇號座標在加撇號座標上的投影產生

以及

加撇號座標在未加撇號座標上的投影產生

以及

使用座標系的 正交性，必然成立

給出恆等式

對於 和 ，以及

對於 。這兩個恆等式可以合併成單個恆等式

其中 是 克羅內克 delta。