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雅可比矩陣

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給定一組 y=f(x) 的 n 個方程，包含 n 個變數 x_1, ..., x_n，顯式地寫成

y=[f_1(x); f_2(x); |; f_n(x)],
(1)

或更顯式地寫成

{y_1=f_1(x_1,...,x_n); |; y_n=f_n(x_1,...,x_n),
(2)

雅可比矩陣，有時簡稱為“雅可比行列式”（Simon and Blume 1994）定義為

J(x_1,...,x_n)=[(partialy_1)/(partialx_1) ... (partialy_1)/(partialx_n); | ... |; (partialy_n)/(partialx_1) ... (partialy_n)/(partialx_n)].
(3)

行列式 J 是雅可比行列式（容易混淆，也常稱為“雅可比行列式”），並表示為

J=|(partial(y_1,...,y_n))/(partial(x_1,...,x_n))|.
(4)

雅可比矩陣和行列式可以使用 Wolfram 語言計算

  JacobianMatrix[f_List?VectorQ, x_List] := Outer[D, f, x]
  JacobianDeterminant[f_List?VectorQ, x_List] := Det[JacobianMatrix[f, x]]

取微分

dy=y_(x)dx
(5)

表明 J 是 行列式 矩陣 y_(x) 的 行列式，因此給出了 n 維體積（內容）在 y 和 x 中的比率，

dy_1...dy_n=|(partial(y_1,...,y_n))/(partial(x_1,...,x_n))|dx_1...dx_n.
(6)

因此，例如，它出現在變數替換定理中。

雅可比矩陣的概念也可以應用於多於 n 個變數的 n 個函式。例如，考慮 f(u,v,w) 和 g(u,v,w)，雅可比矩陣

(partial(f,g))/(partial(u,v))=|f_u f_v; g_u g_v|
(7)
(partial(f,g))/(partial(u,w))=|f_u f_w; g_u g_w|
(8)

可以被定義 (Kaplan 1984, p. 99)。

對於 n=3 變數的情況，雅可比矩陣具有特殊形式

Jf(x_1,x_2,x_3)=|(partialy)/(partialx_1)·(partialy)/(partialx_2)×(partialy)/(partialx_3)|,
(9)

其中 a·b 是點積，b×c 是叉積，可以展開得到

|(partial(y_1,y_2,y_3))/(partial(x_1,x_2,x_3))|=|(partialy_1)/(partialx_1) (partialy_1)/(partialx_2) (partialy_1)/(partialx_3); (partialy_2)/(partialx_1) (partialy_2)/(partialx_2) (partialy_2)/(partialx_3); (partialy_3)/(partialx_1) (partialy_3)/(partialx_2) (partialy_3)/(partialx_3)|.
(10)

另請參閱

變數替換定理, 曲線座標, 黑塞矩陣, 隱函式定理, 多元微積分, 朗斯基行列式 在 課堂中探索這個主題

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參考文獻

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. "Jacobian Determinant." §14.313 in Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 1068-1069, 2000.Kaplan, W. Advanced Calculus, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 98-99, 123, and 238-245, 1984.Simon, C. P. and Blume, L. E. Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton, 1994.

在 中被引用

雅可比矩陣

引用為

Weisstein, Eric W. "Jacobian." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Jacobian.html

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