變數替換定理

一個定理，有效地描述了長度、面積、體積和廣義的 維體積（內容）是如何被可微函式扭曲的。 特別是，變數替換定理將理解內容扭曲的整個問題簡化為理解無窮小扭曲，即 導數（一個線性對映）的扭曲，這由線性對映的行列式給出。 因此， 是一個保面積線性變換當且僅當，更一般地，如果 是 的任何子集，則其影像的內容由 乘以原始內容給出。 變數替換定理利用這種無窮小知識，並透過將定義域分成小塊並逐步累加面積的變化來應用微積分。

變數替換公式持續存在於流形上的微分k-形式的普遍性中，給出公式

(1)

在條件 和 是具有非空邊界的緊連通定向流形， 是一個光滑對映，它是邊界的保定向微分同胚。

在一維中，對於 是 的連續函式的定理的顯式陳述是

(2)

其中 是區間 上的微分對映， 是區間 ，其中 和 (Lax 1999)。 在二維中，定理的顯式陳述是

(3)

在三維中，它是

(4)

其中 是原始區域 的影像，

(5)

是雅可比矩陣，並且 是 和 的全域性保定向微分同胚（它們是 的開子集）。

變數替換定理是旋度定理和一點de Rham 上同調的簡單結果。 推廣到 維不需要額外的假設，只需要邊界上的正則性條件。