微分 k-形式 -- 來自

微分 -形式是張量，其張量秩為，並且在任意一對指標交換下是反對稱的。在維空間中，代數獨立分量的數量由二項式係數給出。特別地，一次形式（通常簡稱為“微分”）是一個量

(1)

其中 , ..., , , ..., 是協變張量的分量。從更改變數到得到

			(2)
			(3)
			(4)

其中

(5)

這是協變變換定律。

-交替多重線性形式在向量空間上對應於的一個元素，即對偶向量空間到的階外冪。 -形式在流形上是向量叢的叢截面，即餘切叢的階外冪。因此，可以用座標寫出 -形式：

(6)

其中遍歷個元素從的所有遞增子集，並且是函式。

微分形式上的一個重要運算，外微分，用於著名的斯托克斯定理中。外微分對形式運算的結果是 -形式。事實上，根據定義，如果是座標函式，被視為零形式，那麼。

形式的另一個重要運算是楔積，或外積。如果是 -形式，而是 -形式，則是形式。此外，-形式可以與 -向量（即的叢截面）進行縮並，得到 -形式，或者如果，則得到 -向量。如果流形具有度量，則存在一個與外積對偶的運算，稱為內積。

在更高維度中，存在更多種類的微分形式。例如，在切空間到上存在零形式 1，兩個一次形式和，以及一個二次形式。一次形式可以唯一地寫成。在四維空間中，是一個二次形式，不能寫成。

寫出一個形式所需的最少項數有時稱為形式的秩，通常在二次形式的情況下。當形式的秩為一時，它被稱為可分解的。形式的秩的另一種含義是其作為張量的秩，在這種情況下，-形式可以被描述為秩為的反對稱張量，實際上是型別。形式的秩也可以指其形式包絡的維度，在這種情況下，秩是一個整數值函式。使用秩的後一種定義，-形式是可分解的當且僅當它的秩為。

當是流形的維度時，也是切空間的維度。因此，-形式始終具有秩一，而對於，-形式必須為零。因此，-形式被稱為頂維形式。頂維形式可以不使用度量進行形式積分。因此，-形式可以在 -維子流形上積分。微分形式是一個向量空間（具有 C-無窮拓撲），因此具有對偶空間。子流形透過積分表示對偶空間的一個元素，因此通常說它們位於形式的對偶空間中，即流的空間。使用度量，霍奇星運算元定義了從 -形式到 -形式的對映，使得。