斯托克斯定理

對於 在有向 -維 帶邊界流形 上具有 緊支集 的 微分 (k-1)-形式 ，

(1)

其中 是微分形式 的外微分。當 是沒有邊界的 緊流形 時，該公式成立，且等式右側為零。

斯托克斯定理透過以下關係與“標準”梯度、旋度和散度定理相關聯。如果 是 上的函式，

(2)

其中 (對偶空間) 是 向量空間 及其對偶空間之間的對偶同構，由 上的歐幾里得內積給出。 如果 是 上的向量場，

(3)

其中 是 霍奇星 運算元。 如果 是 上的向量場，

(4)

考慮到這三個恆等式，上述斯托克斯定理在這三種情況下分別轉化為梯度定理、旋度定理和散度定理，如下所示。 如果 是 上的函式，且 是 中的曲線，則

(5)

這就是梯度定理。 如果 是一個向量場，且 是 中帶邊界的嵌入緊 3-流形，則

(6)

這就是散度定理。 如果 是一個向量場，且 是 中帶邊界的有向、嵌入、緊 2-流形，則

(7)

這就是旋度定理。

德·拉姆上同調是使用微分 k-形式定義的。 當 是一個子流形（無邊界）時，它代表一個同調類。 如果兩個閉形式相差一個恰當形式，，則它們代表相同的上同調類。 因此，

(8)

因此，上同調類在同調類上的求值是良定義的。

物理學家通常將旋度定理稱為

(9)

斯托克斯定理。