散度定理

散度定理，尤其在較早的文獻中更常被稱為高斯定理（例如，Arfken 1985），也稱為高斯-奧斯特洛格拉德斯基定理，是向量微積分中的一個定理，可以表述如下。設 是空間中的一個區域，邊界為 。那麼 體積積分 的 散度 在 上的積分和 曲面積分 的 在 邊界上的積分，透過下式相關聯：

(1)

散度定理是物質守恆物理事實的數學表述，即在沒有物質產生或破壞的情況下，空間區域內的密度變化只能透過物質流入或流出其邊界來實現。

散度定理的一個特例是透過專門化到平面得到的。設 為平面上的一個區域，邊界為 ，則方程 (1) 簡化為

(2)

如果 向量場 滿足某些約束，則可以使用簡化的形式。例如，如果 其中 是一個常向量 ，那麼

(3)

但是

(4)

所以

			(5)
			(6)

和

(7)

但是 ，並且 必須隨 變化，因此 不能總是等於零。因此，

(8)

類似地，如果 ，其中 是一個常向量 ，那麼

(9)