散度

向量場的散度 vector field , 記作 或 (本文件中使用的符號), 由 surface integral 面積分的極限定義

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其中面積分給出 在閉合的無限小邊界曲面 上積分的值，該曲面包圍著體積元 ，體積元的大小透過極限過程趨於零。因此，vector field 向量場的散度是一個 scalar field 標量場。如果 , 則該場被稱為 divergenceless field 無散場。符號 俗稱 “nabla” 或 “del”。

vector field 向量場散度的物理意義是“密度”離開給定空間區域的速率。因此，散度的定義自然而然地來自於注意到，在沒有物質產生或破壞的情況下，空間區域內的密度只能透過流入或流出該區域來改變。透過測量穿過包圍空間區域的表面的內容淨通量，因此可以立即說出內部密度的變化情況。這個性質在物理學中是 fundamental 的，它被稱為“連續性原理”。當以正式定理的形式陳述時，它被稱為 divergence theorem 散度定理，也稱為高斯定理。實際上，公式 (1) 中的定義實際上是 divergence theorem 散度定理的陳述。

例如，流體 mechanics 的連續性方程指出，流體每個無限小體積元中密度 降低的速率與流體微團從該體積元流出的質量通量成正比，符號表示為

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其中 是流體速度的向量場。在流體密度恆定的常見情況下，這簡化為簡潔明瞭的陳述

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這簡單地說明，為了使密度在整個流體中保持恆定，流體微團不得在任何地方“聚集”，因此任何物理系統的流體微團速度的向量場必須是 divergenceless field 無散場。

散度在電磁理論中同樣是 fundamental 的，它出現在四個麥克斯韋方程中的兩個中，

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這裡使用了 MKS 單位，其中 表示電場， 現在是電荷密度， 是一個比例常數，稱為自由空間的介電常數， 是磁場。連同另外兩個麥克斯韋方程，這些公式描述了幾乎所有經典和相對論電磁學性質。

透過構建一個假想的無限小立方體盒子，該盒子沿座標軸方向圍繞空間的無限小區域定向，可以立即在 Cartesian coordinates 笛卡爾座標系中寫下向量場散度的公式。這個盒子有六個面，離開盒子的淨“內容”因此只是盒子三組平行邊的向量場值之差的總和。寫成 , 因此立即得到

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這個公式也提供了採用符號 表示散度的動機。將 解釋為 gradient 梯度運算元 , 這個向量運算元與原始向量場 的“dot product 點積”正是公式 (6)。

雖然這個導數在某種程度上似乎偏愛 Cartesian coordinates 笛卡爾座標系，但一般定義完全不受所選座標系的限制。實際上，定義

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在任意正交 curvilinear coordinates 曲線座標系中，散度可以簡單地表示為

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由 matrix 矩陣 表示的 unit vector 單位向量的線性變換的散度由以下簡潔公式給出

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其中 是 matrix trace 矩陣的跡， 表示轉置。

散度的概念可以推廣到 tensor fields 張量場，在張量場中，它是所謂的 covariant derivative 協變導數的縮並，寫作

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