旋度

一個向量場的旋度，記為 或 (本文件中使用的符號)，被定義為向量場，其大小等於每個點的最大“環量”，並且方向垂直於每個點的環量平面。更精確地說， 的大小是單位面積的環量的極限值。顯式地寫出，

(1)

其中右側是在面積為 的無窮小區域周圍的線積分，該區域透過極限過程收縮到零，並且 是該區域的單位法向量。如果 ，則該場被稱為無旋場。符號 通常被稱為 "nabla" 或 "del"。

向量場的旋度的物理意義是給定空間區域內容物的“旋轉”或角動量的大小。它出現在流體力學和彈性理論中。它在電磁學理論中也Fundamental，出現在麥克斯韋方程組的兩個方程中，

			(2)
			(3)

這裡使用了 MKS 單位制， 表示電場， 是磁場， 是一個比例常數，稱為自由空間磁導率， 是電流密度， 是另一個比例常數，稱為自由空間介電常數。與麥克斯韋方程組的另外兩個方程一起，這些公式描述了幾乎所有電磁學的經典和相對論性質。

在笛卡爾座標系中，旋度定義為

(4)

這提供了採用符號 表示旋度的動機，因為將 解釋為梯度運算元 ，梯度運算元與 的“叉積”由下式給出

(5)

這正是方程 (4)。旋度的一種稍微更優雅的公式由矩陣算符方程給出

(6)

(Abbott 2002)。

旋度可以使用下式類似地在任意正交曲線座標系中定義

(7)

並定義

(8)

為

			(9)
			(10)

旋度可以從向量場推廣到張量場，如下所示

(11)

其中 是置換張量，";" 表示協變導數。