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拉普拉斯運算元

對於標量函式 phi，拉普拉斯運算元是一個標量微分運算元，定義為：

del ^2phi=1/(h_1h_2h_3)[partial/(partialu_1)((h_2h_3)/(h_1)partial/(partialu_1))+partial/(partialu_2)((h_1h_3)/(h_2)partial/(partialu_2))+partial/(partialu_3)((h_1h_2)/(h_3)partial/(partialu_3))]phi,
(1)

其中 h_i 是座標系的尺度因子 (Weinberg 1972, p. 109; Arfken 1985, p. 92)。

請注意，運算元 del ^2 通常被數學家寫作 Delta (Krantz 1999, p. 16)。

拉普拉斯運算元在力學、電磁學、波動理論和量子力學中極其重要，並出現在拉普拉斯方程中

del ^2phi=0,
(2)

亥姆霍茲微分方程

del ^2psi+k^2psi=0,
(3)

波動方程

del ^2psi=1/(v^2)(partial^2psi)/(partialt^2),
(4)

和薛定諤方程

ih(partialPsi(x,y,z,t))/(partialt)=[-(h^2)/(2m)del ^2+V(x)]Psi(x,y,z,t).
(5)

透過將三維推廣到四維時空獲得的類似運算元表示為 square ^2，被稱為達朗貝爾算符。拉普拉斯運算元作用於向量函式的一個版本被稱為向量拉普拉斯運算元，張量拉普拉斯運算元也可以類似地定義。拉普拉斯運算元的平方 (del ^2)^2=del ^4 被稱為雙調和運算元。

也可以定義向量拉普拉斯運算元，以及它到張量拉普拉斯運算元的推廣。

下表給出了拉普拉斯運算元在幾種常見座標系中的形式。

座標系del ^2f
笛卡爾座標系(partial^2f)/(partialx^2)+(partial^2f)/(partialy^2)+(partial^2f)/(partialz^2)
柱座標系1/rpartial/(partialr)(r(partialf)/(partialr))+1/(r^2)(partial^2f)/(partialtheta^2)+(partial^2f)/(partialz^2)
拋物線座標系1/(uv(u^2+v^2))[partial/(partialu)(uv(partialf)/(partialu))+partial/(partialv)(uv(partialf)/(partialv))]+1/(u^2v^2)(partial^2f)/(partialtheta^2)
拋物柱面座標系1/(u^2+v^2)((partial^2f)/(partialu^2)+(partial^2f)/(partialv^2))+(partial^2f)/(partialz^2)
球座標系1/(r^2)partial/(partialr)(r^2(partialf)/(partialr))+1/(r^2sin^2phi)(partial^2f)/(partialtheta^2)+1/(r^2sinphi)partial/(partialphi)(sinphi(partialf)/(partialphi))

有限差分形式為：

del ^2psi(x,y,z)=1/(h^2)[psi(x+h,y,z)+psi(x-h,y,z)+psi(x,y+h,z)+psi(x,y-h,z)+psi(x,y,z+h)+psi(x,y,z-h)-6psi(x,y,z)].
(6)

對於純徑向函式 g(r)，

del ^2g(r)=del ·[del g(r)]
(7)
=del ·[(partialg(r))/(partialr)r^^+1/r(partialg(r))/(partialtheta)theta^^+1/(rsintheta)(partialg(r))/(partialphi)phi^^]
(8)
=del ·(r^^(dg)/(dr)).
(9)

使用向量導數恆等式

del ·(fA)=f(del ·A)+(del f)·A,
(10)

因此

del ^2g(r)=del ·[del g(r)]
(11)
=(dg)/(dr)del ·r^^+del ((dg)/(dr))·r^^
(12)
=2/r(dg)/(dr)+(d^2g)/(dr^2).
(13)

因此，對於徑向冪定律，

del ^2r^n=2/rnr^(n-1)+n(n-1)r^(n-2)
(14)
=[2n+n(n-1)]r^(n-2)
(15)
=n(n+1)r^(n-2).
(16)

拉普拉斯運算元滿足的恆等式是

del ^2||xA||=(||A||_(HS)^2-||(xA)A^(T)||^2)/(||xA||^3),
(17)

其中 ||A||_(HS) 是希爾伯特-施密特範數，x 是行向量，A^(T) 是 A 的轉置。

為了計算反距離函式 1/r 的拉普拉斯運算元，其中 r=|r-r^'|，並將拉普拉斯運算元在一個體積上積分，

int_Vdel ^2(1/(|r-r^'|))d^3r.
(18)

這等於

int_Vdel ^21/rd^3r=int_Vdel ·(del 1/r)d^3r
(19)
=int_S(del 1/r)·da
(20)
=int_Spartial/(partialr)(1/r)r^^·da
(21)
=int_S-1/(r^2)r^^·da
(22)
=-4pi(R^2)/(r^2),
(23)

其中積分是在一個半徑為 R 的小球體上進行的。現在，對於 r>0 和 R->0，積分變為 0。類似地，對於 r=R 和 R->0，積分變為 -4pi。因此，

del ^2(1/(|r-r^'|))=-4pidelta^3(r-r^'),
(24)

其中 delta(x) 是狄拉克δ函式。

另請參閱

拉普拉斯矩陣, 向量拉普拉斯運算元, 張量拉普拉斯運算元

使用 探索

參考文獻

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.Moon, P. 和 Spencer, D. E. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1988.

另見

反拉普拉斯運算元, 雙調和運算元, 達朗貝爾算符, 亥姆霍茲微分方程, 拉普拉斯方程, 薛定諤方程, 張量拉普拉斯運算元, 向量拉普拉斯運算元, 波動方程

參考文獻

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 16, 1999.Moon, P. 和 Spencer, D. E. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1988.Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. New York: Wiley, 1972.

在 中被引用

拉普拉斯運算元

請引用為

Weisstein, Eric W. "拉普拉斯運算元。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/Laplacian.html

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