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亥姆霍茲微分方程

一個 橢圓偏微分方程，由下式給出

del ^2psi+k^2psi=0,
(1)

其中 psi 是一個 標量函式，而 del ^2 是標量 拉普拉斯運算元，或

del ^2F+k^2F=0,
(2)

其中 F 是一個 向量函式，而 del ^2 是向量拉普拉斯運算元（Moon 和 Spencer 1988，第 136-143 頁）。

當 k=0 時，亥姆霍茲微分方程簡化為 拉普拉斯方程。當 k^2<0 （即，對於虛數 k），該方程變為擴散方程的空間部分。

亥姆霍茲微分方程只能透過 分離變數法 在 11 個座標系中求解，其中 10 個（除了 共焦拋物面座標）是 共焦橢球面 系統的特例：笛卡爾座標、共焦橢球面座標、共焦拋物面座標、圓錐座標、柱座標、橢圓柱座標、扁球面座標、拋物面座標、拋物柱座標、長球面座標 和 球座標 (Eisenhart 1934ab)。拉普拉斯方程（k=0 的亥姆霍茲微分方程）在另外兩個 雙球座標 和 環面座標 中是可分離的。

如果亥姆霍茲方程在三維座標系中是可分離的，那麼 Morse 和 Feshbach (1953, 第 509-510 頁) 表明

(h_1h_2h_3)/(h_n^2)=f_n(u_n)g_n(u_i,u_j),
(3)

其中 i!=j!=n。拉普拉斯運算元 因此是 如下形式

del ^2=1/(h_1h_2h_3){g_1(u_2,u_3)partial/(partialu_1)[f_1(u_1)partial/(partialu_1)]+g_2(u_1,u_3)partial/(partialu_2)[f_2(u_2)partial/(partialu_2)]+g_3(u_1,u_2)partial/(partialu_3)[f_3(u_3)partial/(partialu_3)]},
(4)

簡化為

del ^2=1/(h_1^2f_1)partial/(partialu_1)[f_1(u_1)partial/(partialu_1)]+1/(h_2^2f_2)partial/(partialu_2)[f_2(u_2)partial/(partialu_2)]+1/(h_3^2f_3)partial/(partialu_3)[f_3(u_3)partial/(partialu_3)].
(5)

這樣的座標系服從 Robertson 條件，這意味著 Stäckel 行列式 是 如下形式

S=(h_1h_2h_3)/(f_1(u_1)f_2(u_2)f_3(u_3)).
(6)

參見

拉普拉斯方程、泊松方程、分離變數法、球貝塞爾微分方程、Stäckel 行列式

使用 探索

參考文獻

Eisenhart, L. P. "歐幾里得 3 空間中的可分離系統。" Physical Review 45, 427-428, 1934a.Eisenhart, L. P. "Stäckel 的可分離系統。" Ann. Math. 35, 284-305, 1934b.Eisenhart, L. P. "薛定諤方程可分離的勢。" Phys. Rev. 74, 87-89, 1948.Kriezis, E. E.; Tsiboukis, T. D.; Panas, S. M.; 和 Tegopoulos, J. A. "渦流：理論與應用。" Proc. IEEE 80, 1559-1589, 1992.Moon, P. 和 Spencer, D. E. "十一個座標系" 和 "向量亥姆霍茲方程"。《場論手冊，包括座標系、微分方程及其解，第 2 版。》紐約：Springer-Verlag，第 1-48 頁和 136-143 頁，1988 年。Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 《理論物理方法，第一部分。》紐約：McGraw-Hill，第 125-126 頁、271 頁和 509-510 頁，1953 年。Zwillinger, D. (編)。《CRC 標準數學表格和公式。》博卡拉頓，佛羅里達州：CRC Press，第 417 頁，1995 年。Zwillinger, D. 《微分方程手冊，第 3 版。》波士頓，馬薩諸塞州：Academic Press，第 129 頁，1997 年。

在 中被引用

亥姆霍茲微分方程

引用為

Weisstein, Eric W. "亥姆霍茲微分方程。" 來自 Web 資源。https://mathworld.tw/HelmholtzDifferentialEquation.html

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