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共焦橢球座標

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共焦橢球座標，Morse 和 Feshbach (1953) 簡稱為“橢球座標”，Hilbert 和 Cohn-Vossen (1999, p. 22) 稱為“橢圓座標”，由以下方程給出

(x^2)/(a^2+xi)+(y^2)/(b^2+xi)+(z^2)/(c^2+xi)=1
(1)
(x^2)/(a^2+eta)+(y^2)/(b^2+eta)+(z^2)/(c^2+eta)=1
(2)
(x^2)/(a^2+zeta)+(y^2)/(b^2+zeta)+(z^2)/(c^2+zeta)=1,
(3)

其中 -c^2<xi<infty, -b^2<eta<-c^2, 和 -a^2<zeta<-b^2。這些座標對應於三個共焦二次曲面，它們共享相同的焦點對。常數 xi 的曲面是共焦橢球，常數 eta 的曲面是單葉雙曲面，常數 zeta 的曲面是雙葉雙曲面 (Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999, pp. 22-23)。對於每個 (x,y,z)，都有一組唯一的橢球座標。然而，(xi,eta,zeta) 指定了八個對稱地位於卦限中的點。

求解 x、y 和 z 得到

x^2=((a^2+xi)(a^2+eta)(a^2+zeta))/((b^2-a^2)(c^2-a^2))
(4)
y^2=((b^2+xi)(b^2+eta)(b^2+zeta))/((a^2-b^2)(c^2-b^2))
(5)
z^2=((c^2+xi)(c^2+eta)(c^2+zeta))/((a^2-c^2)(b^2-c^2)).
(6)

拉普拉斯算符為

del ^2Psi=(eta-zeta)f(xi)partial/(partialxi)[f(xi)(partialPsi)/(partialxi)] +(zeta-xi)f(eta)partial/(partialeta)[f(eta)(partialPsi)/(partialeta)]+(xi-eta)f(zeta)partial/(partialzeta)[f(zeta)(partialPsi)/(partialzeta)],
(7)

其中

f(x)=sqrt((x+a^2)(x+b^2)(x+c^2)).
(8)

另一種定義是

(x^2)/(a^2-lambda)+(y^2)/(b^2-lambda)+(z^2)/(c^2-lambda)=1
(9)
(x^2)/(a^2-mu)+(y^2)/(b^2-mu)+(z^2)/(c^2-mu)=1
(10)
(x^2)/(a^2-nu)+(y^2)/(b^2-nu)+(z^2)/(c^2-nu)=1,
(11)

其中

lambda<c^2<mu<b^2<nu<a^2
(12)

(Arfken 1970, pp. 117-118)。Byerly (1959, p. 251) 使用了略有不同的定義，其中希臘變數被它們的平方取代，且 a=0。方程 (9) 表示一個橢球，(10) 表示一個單葉雙曲面，(11) 表示一個雙葉雙曲面。

用笛卡爾座標表示，

x^2=((a^2-lambda)(a^2-mu)(a^2-nu))/((a^2-b^2)(a^2-c^2))
(13)
y^2=((b^2-lambda)(b^2-mu)(b^2-nu))/((b^2-a^2)(b^2-c^2))
(14)
z^2=((c^2-lambda)(c^2-mu)(c^2-nu))/((c^2-a^2)(c^2-b^2)).
(15)

比例因子為

h_lambda=sqrt(((mu-lambda)(nu-lambda))/(4(a^2-lambda)(b^2-lambda)(c^2-lambda)))
(16)
h_mu=sqrt(((nu-mu)(lambda-mu))/(4(a^2-mu)(b^2-mu)(c^2-mu)))
(17)
h_nu=sqrt(((lambda-nu)(mu-nu))/(4(a^2-nu)(b^2-nu)(c^2-nu))).
(18)

拉普拉斯算符為

del ^2=2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-2nu(a^2+b^2+c^2)+3nu^2)/((mu-nu)(nu-lambda))partial/(partialnu)+4((a^2-nu)(b^2-nu)(c^2-nu))/((mu-nu)(nu-lambda))(partial^2)/(partialnu^2)+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-2mu(a^2+b^2+c^2)+3mu^2)/((nu-mu)(mu-lambda))partial/(partialmu)+4((a^2-mu)(b^2-mu)(c^2-mu))/((mu-lambda)(nu-mu))(partial^2)/(partialmu^2)+2(-(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)+2lambda(a^2+b^2+c^2)-3lambda^2)/((mu-lambda)(nu-lambda))partial/(partiallambda)+4((a^2-lambda)(b^2-lambda)(c^2-lambda))/((mu-lambda)(nu-lambda))(partial^2)/(partiallambda^2).
(19)

使用 Byerly (1959, pp. 252-253) 的符號，這可以簡化為

del ^2=(mu^2-nu^2)(partial^2)/(partialalpha^2)+(lambda^2-nu^2)(partial^2)/(partialbeta^2)+(lambda^2-mu^2)(partial^2)/(partialgamma^2),
(20)

其中

alpha=cint_c^lambda(dlambda)/(sqrt((lambda^2-b^2)(lambda^2-c^2)))
(21)
=F(b/c,pi/2)-F(b/c,sin^(-1)(c/lambda))
(22)
beta=cint_b^mu(dmu)/(sqrt((c^2-mu^2)(mu^2-b^2)))
(23)
=F[sqrt(1-(b^2)/(c^2)),sin^(-1)(sqrt((1-(b^2)/(mu^2))/(1-(b^2)/(c^2))))]
(24)
gamma=cint_0^nu(dnu)/(sqrt((b^2-nu^2)(c^2-nu^2)))
(25)
=F(b/c,sin^(-1)(nu/b)).
(26)

這裡，F 是第一類橢圓積分。用 alpha, beta, 和 gamma 表示，

lambda=cdc(alpha,b/c)
(27)
mu=bnd(beta,sqrt(1-(b^2)/(c^2)))
(28)
nu=bsn(gamma,b/c),
(29)

其中 dc, nd 和 sn 是 Jacobi 橢圓函式。亥姆霍茲微分方程在共焦橢球座標中是可分離的。

另請參閱

亥姆霍茲微分方程——共焦橢球座標

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). “橢圓座標的定義。” §21.1 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 752, 1972.Arfken, G. “共焦橢球座標 (xi_1,xi_2,xi_3)。” §2.15 in 物理學家數學方法，第 2 版。 New York: Academic Press, pp. 117-118, 1970.Byerly, W. E. 傅立葉級數、球諧函式、柱諧函式和橢球諧函式初等論著，及其在數學物理問題中的應用。 New York: Dover, pp. 251-252, 1959.Hilbert, D. 和 Cohn-Vossen, S. “橢球的線構造和共焦二次曲面。” §4 in 幾何與想象。 New York: Chelsea, pp. 19-25, 1999.Moon, P. 和 Spencer, D. E. “橢球座標 (eta,theta,lambda)。” 表 1.10 in 場論手冊，包括座標系、微分方程及其解，第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 40-44, 1988.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理論物理方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, p. 663, 1953.

在 中被引用

共焦橢球座標

請引用為

Weisstein, Eric W. “共焦橢球座標。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/ConfocalEllipsoidalCoordinates.html

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