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第一類橢圓積分

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設橢圓模量 k 滿足 0<k^2<1, 並且 雅可比振幅 由 phi=amu 給出，其中 -pi/2<phi<pi/2。則第一類不完全橢圓積分定義為

u=F(phi,k)=int_0^phi(dtheta)/(sqrt(1-k^2sin^2theta)).
(1)

第一類橢圓積分在 Wolfram 語言 中實現為EllipticF[phi, m] (注意使用引數 m=k^2 而不是模數 k)。

設

t=sintheta
(2)
dt=costhetadtheta
(3)
=sqrt(1-t^2)dtheta,
(4)

方程 (1) 可以寫成

F(phi,k)=int_0^(sinphi)1/(sqrt(1-k^2t^2))(dt)/(sqrt(1-t^2))
(5)
=int_0^(sinphi)(dt)/(sqrt((1-k^2t^2)(1-t^2))).
(6)

設

v=tantheta
(7)
dv=sec^2thetadtheta=(1+v^2)dtheta,
(8)

則該積分也可以寫成

F(phi,k)=int_0^(tanphi)(dv)/(sqrt((1+v^2)(1+k^('2)v^2))),
(9)

其中 k^('2)=1-k^2 是互補橢圓模量。

F(phi,k) 的反函式由雅可比振幅給出

F^(-1)(u,k)=phi=am(u,k).
(10)

積分

I=1/(sqrt(2))int_0^(theta_0)(dtheta)/(sqrt(costheta-costheta_0)),
(11)

它出現在計算單擺週期中，也是第一類橢圓積分。使用

costheta=1-2sin^2(1/2theta)
(12)
sin(1/2theta)=sqrt((1-costheta)/2)
(13)

寫成

sqrt(costheta-costheta_0)=sqrt(1-2sin^2(1/2theta)-costheta_0)
(14)
=sqrt(1-costheta_0)sqrt(1-2/(1-costheta_0)sin^2(1/2theta))
(15)
=sqrt(2)sin(1/2theta_0)sqrt(1-csc^2(1/2theta_0)sin^2(1/2theta)),
(16)

所以

I=1/2int_0^(theta_0)(dtheta)/(sin(1/2theta_0)sqrt(1-csc^2(1/2theta_0)sin^2(1/2theta))).
(17)

現在設

sin(1/2theta)=sin(1/2theta_0)sinphi,
(18)

因此，當 theta 從 0 變化到 theta_0 時，角度 theta 轉換為

phi=sin^(-1)[(sin(1/2theta))/(sin(1/2theta_0))],
(19)

其範圍從 0 到 pi/2 。取微分得到

1/2cos(1/2theta)dtheta=sin(1/2theta_0)cosphidphi,
(20)

或

1/2sqrt(1-sin^2(1/2theta_0)sin^2phi)dtheta=sin(1/2theta_0)cosphidphi.
(21)

代入得到

I=int_0^(pi/2)1/(sqrt(1-sin^2(1/2theta_0)sin^2phi))(sin(1/2theta_0)cosphidphi)/(sin(1/2theta_0)sqrt(1-sin^2phi))
(22)
=int_0^(pi/2)(dphi)/(sqrt(1-sin^2(1/2theta_0)sin^2phi))
(23)
=K(sin(1/2theta_0)),
(24)

所以

I=1/(sqrt(2))int_0^(theta_0)(dtheta)/(sqrt(costheta-costheta_0))
(25)
=K(sin(1/2theta_0)).
(26)

進行略有不同的替換 phi=theta/2，因此 dtheta=2dphi 導致一個等價的，但更復雜的表示式，涉及第一類不完全橢圓積分，

I=21/(sqrt(2))1/(sqrt(2))csc(1/2theta_0)int_0^(theta_0)(dphi)/(sqrt(1-csc^2(1/2theta_0)sin^2phi))
(27)
=csc(1/2theta_0)F(1/2theta_0,csc(1/2theta_0)).
(28)
EllipticFReIm
EllipticFContours

因此，恆等式

F(z,cscz)=sinzK(sinz)
(29)

至少在複平面的某些區域上成立。適用區域為 -pi/2<R[z]<pi/2，如上所示。

第一類橢圓積分滿足

F(-phi,k)=-F(phi,k).
(30)

F(phi,k) 的特殊值包括

F(0,k)=0
(31)
F(1/2pi,k)=K(k),
(32)

其中 K(k) 被稱為第一類完全橢圓積分。

另請參閱

第一類完全橢圓積分, 橢圓特徵, 第二類橢圓積分, 第三類橢圓積分, 橢圓積分奇值, 橢圓模量, 高斯變換, 雅可比振幅, 蘭登變換, 勒讓德關係, 模角, 引數

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticF/

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Elliptic Integrals." Ch. 17 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 587-607, 1972.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Complete Elliptic Integrals K(p) and E(p)" and "The Incomplete Elliptic Integrals F(p;phi) and E(p;phi)." Chs. 61-62 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 609-633, 1987.Tölke, F. "Parameterfunktionen." Ch. 3 in Praktische Funktionenlehre, zweiter Band: Theta-Funktionen und spezielle Weierstraßsche Funktionen. Berlin: Springer-Verlag, pp. 83-115, 1966.Tölke, F. "Umkehrfunktionen der Jacobischen elliptischen Funktionen und elliptische Normalintegrale erster Gattung. Elliptische Amplitudenfunktionen sowie Legendresche F- und E-Funktion. Elliptische Normalintegrale zweiter Gattung. Jacobische Zeta- und Heumansche Lambda-Funktionen," and "Normalintegrale dritter Gattung. Legendresche Pi-Funktion. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals auf Normalintegrale erster, zweiter, und dritter Gattung." Chs. 6-7 in Praktische Funktionenlehre, dritter Band: Jacobische elliptische Funktionen, Legendresche elliptische Normalintegrale und spezielle Weierstraßsche Zeta- und Sigma Funktionen. Berlin: Springer-Verlag, pp. 58-144, 1967.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 122, 1997.

在 中被引用

第一類橢圓積分

請引用為

Weisstein, Eric W. "第一類橢圓積分。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/EllipticIntegraloftheFirstKind.html

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