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第二類橢圓積分

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設 橢圓模數 k 滿足 0<k^2<1。（這也可以用引數 m=k^2 或 模角 alpha=sin^(-1)k 來表示。）則不完全第二類橢圓積分定義為

E(phi,k)=int_0^phisqrt(1-k^2sin^2theta)dtheta.
(1)

第二類橢圓積分在 Wolfram 語言 中實現為EllipticE[phi, m]（注意使用引數 m=k^2 而不是模數 k）。

完全第二類橢圓積分 E(k) 定義為

E(k)=E(1/2pi,k).
(2)

為了將第二類橢圓積分放在稍微不同的形式中，令

t=sintheta
(3)
dt=costhetadtheta=sqrt(1-t^2)dtheta,
(4)

因此，橢圓積分也可以寫成

E(phi,k)=int_0^(sinphi)sqrt(1-k^2t^2)(dt)/(sqrt(1-t^2))
(5)
=int_0^(sinphi)sqrt((1-k^2t^2)/(1-t^2))dt.
(6)

在 (1) 中，將 sintheta 替換為 sinhtheta 的推廣給出

-iE(iphi,-k)=int_0^phisqrt(1-k^2sinh^2theta)dtheta.
(7)

形式為 E(z,cscz) 的不完全第二類橢圓積分可以用第一類完全橢圓積分 K(k) 和第二類 E(k) 表示為

E(z,cscz)=csczE(sinz)-coszcotzK(sinz)
(8)

對於 -pi/2<R[z]<pi/2。

另請參閱

完全第二類橢圓積分，第一類橢圓積分，第三類橢圓積分，橢圓積分奇異值

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticE2/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Elliptic Integrals." Ch. 17 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 587-607, 1972.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Complete Elliptic Integrals K(p) and E(p)" and "The Incomplete Elliptic Integrals F(p;phi) and E(p;phi)." Chs. 61 和 62 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 609-633, 1987.Tölke, F. "Parameterfunktionen." Ch. 3 in Praktische Funktionenlehre, zweiter Band: Theta-Funktionen und spezielle Weierstraßsche Funktionen. Berlin: Springer-Verlag, pp. 83-115, 1966.Tölke, F. "Umkehrfunktionen der Jacobischen elliptischen Funktionen und elliptische Normalintegrale erster Gattung. Elliptische Amplitudenfunktionen sowie Legendresche F- und E-Funktion. Elliptische Normalintegrale zweiter Gattung. Jacobische Zeta- und Heumansche Lambda-Funktionen," and "Normalintegrale dritter Gattung. Legendresche Pi-Funktion. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals auf Normalintegrale erster, zweiter, und dritter Gattung." Chs. 6-7 in Praktische Funktionenlehre, dritter Band: Jacobische elliptische Funktionen, Legendresche elliptische Normalintegrale und spezielle Weierstraßsche Zeta- und Sigma Funktionen. Berlin: Springer-Verlag, pp. 58-144, 1967.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 中被引用

第二類橢圓積分

請引用為

Weisstein, Eric W. “第二類橢圓積分。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/EllipticIntegraloftheSecondKind.html

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