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橢圓積分奇異值

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當橢圓模量 k 具有奇異值時，完全橢圓積分可以用 伽瑪函式 以解析形式計算。阿貝爾（引自 Whittaker 和 Watson 1990，第 525 頁）證明，每當

(K^'(k))/(K(k))=(a+bsqrt(n))/(c+dsqrt(n)),
(1)

其中 a, b, c, d 和 n 是整數，K(k) 是第一類完全橢圓積分，並且 K^'(k)=K(sqrt(1-k^2)) 是互補的第一類完全橢圓積分，則橢圓模量 k 是具有整數 係數的代數方程的根。

一個橢圓模量 k_r 使得

(K^'(k_r))/(K(k_r))=sqrt(r),
(2)

被稱為橢圓積分的奇異值。橢圓 lambda 函式 lambda^*(r) 給出了 k_r 的值。

Selberg 和 Chowla (1967) 表明 K(lambda^*(r)) 和 E(lambda^*(r)) 可以用有限數量的 伽瑪函式 表示。第二類完全橢圓積分 E(k_r) 和 E^'(k_r) 可以用 K(k_r) 和 K^'(k_r) 以及 橢圓 alpha 函式 alpha(r) 表示。

下面總結了對於小整數 r 的 K(k_r) 的值，以 伽瑪函式 Gamma(z) 表示。

K(k_1)=(Gamma^2(1/4))/(4sqrt(pi))
(3)
K(k_2)=(sqrt(sqrt(2)+1)Gamma(1/8)Gamma(3/8))/(2^(13/4)sqrt(pi))
(4)
K(k_3)=(3^(1/4)Gamma^3(1/3))/(2^(7/3)pi)
(5)
K(k_4)=((sqrt(2)+1)Gamma^2(1/4))/(2^(7/2)sqrt(pi))
(6)
K(k_5)=(sqrt(5)+2)^(1/4)sqrt((Gamma(1/(20))Gamma(3/(20))Gamma(7/(20))Gamma(9/(20)))/(160pi))
(7)
K(k_6)=sqrt((sqrt(2)-1)(sqrt(3)+sqrt(2))(2+sqrt(3)))sqrt((Gamma(1/(24))Gamma(5/(24))Gamma(7/(24))Gamma((11)/(24)))/(384pi))
(8)
K(k_7)=(Gamma(1/7)Gamma(2/7)Gamma(4/7))/(7^(1/4)·4pi)
(9)
K(k_8)=sqrt((2sqrt(2)+sqrt(1+5sqrt(2)))/(4sqrt(2)))((sqrt(2)+1)^(1/4)Gamma(1/8)Gamma(3/8))/(8sqrt(pi))
(10)
K(k_9)=(3^(1/4)sqrt(2+sqrt(3))Gamma^2(1/4))/(12sqrt(pi))
(11)
K(k_(10))=sqrt((2+3sqrt(2)+sqrt(5)))sqrt((Gamma(1/(40))Gamma(7/(40))Gamma(9/(40))Gamma((11)/(40))Gamma((13)/(40))Gamma((19)/(40))Gamma((23)/(40))Gamma((37)/(40)))/(2560pi^3))
(12)
K(k_(11))=[2+(17+3sqrt(33))^(1/3)-(3sqrt(33)-17)^(1/3)]^2(Gamma(1/(11))Gamma(3/(11))Gamma(4/(11))Gamma(5/(11))Gamma(9/(11)))/(11^(1/4)144pi^2)
(13)
K(k_(12))=(3^(1/4)(sqrt(2)+1)(sqrt(3)+sqrt(2))sqrt(2-sqrt(3))Gamma^3(1/3))/(2^(13/3)pi)
(14)
K(k_(13))=((18+5sqrt(13))^(1/4))/(sqrt(6656pi^5))sqrt(Gamma(1/(52))Gamma(7/(52))Gamma(9/(52))Gamma((11)/(52))Gamma((15)/(52))Gamma((17)/(52))Gamma((19)/(52))Gamma((25)/(52))Gamma((29)/(52))Gamma((31)/(52))Gamma((47)/(52))Gamma((49)/(52)))
(15)
K(k_(14))=-11-8sqrt(2)-4sqrt(5+4sqrt(2))-2sqrt(2(5+4sqrt(2)))+2sqrt(11+8sqrt(2))+2sqrt(2(11+8sqrt(2)))+sqrt(2(5+4sqrt(2))(11+8sqrt(2)))
(16)
K(k_(15))=sqrt(((sqrt(5)+1)Gamma(1/(15))Gamma(2/(15))Gamma(4/(15))Gamma(8/(15)))/(240pi))
(17)
K(k_(16))=((2^(1/4)+1)^2Gamma^2(1/4))/(2^(9/2)sqrt(pi))
(18)
K(k_(17))=C_1[(Gamma(1/(68))Gamma(3/(68))Gamma(7/(68))Gamma((11)/(68))Gamma((13)/(68)))/(Gamma(5/(68))Gamma((15)/(68))Gamma((19)/(68))Gamma((29)/(68)))]^(1/4)[Gamma((21)/(68))Gamma((25)/(68))Gamma((27)/(68))Gamma((31)/(68))Gamma((33)/(68))]^(1/4)
(19)
K(k_(25))=(sqrt(5)+2)/(20)(Gamma^2(1/4))/(sqrt(pi)),
(20)

其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式，而 C_1 是一個代數數 (Borwein 和 Borwein 1987, p. 298)。

Borwein 和 Zucker (1992) 給出了用 中心 Beta 函式 表示的完全橢圓積分奇異值的驚人表示式

beta(p)=B(p,p).
(21)

此外，他們表明對於 n=1,2 (mod 4)，K(k_n) 總是可以用這些函式表示。在這種情況下，表示式中出現的 Gamma(z) 函式是 形式 Gamma(t/4n)，其中 1<=t<=(2n-1) 且 (t,4n)=1。分子中的項取決於 克羅內克符號 {t/4n} 的符號。前幾個 n 的值是

K(k_1)=2^(-2)beta(1/4)
(22)
K(k_2)=2^(-13/4)beta(1/8)
(23)
K(k_3)=2^(-4/3)3^(-1/4)beta(1/3)
(24)
=2^(-5/3)3^(-3/4)beta(1/6)
(25)
K(k_5)=2^(-33/20)5^(-5/8)(11+5sqrt(5))^(1/4)sin(1/(20)pi)beta(1/2)
(26)
=2^(-29/20)5^(-3/8)(1+sqrt(5))^(1/4)sin(3/(20)pi)beta(3/(20))
(27)
K(k_6)=2^(-47/12)3^(-3/4)(sqrt(2)-1)(sqrt(3)+1)beta(1/(24))
(28)
=2^(-43/12)3^(-1/4)(sqrt(3)-1)beta(5/(24))
(29)
K(k_7)=2·7^(-3/4)sin(1/7pi)sin(2/7pi)B(1/7,2/7)
(30)
=2^(-2/7)7^(-1/4)(beta(1/7)beta(2/7))/(beta(1/(14)))
(31)
K(k_(10))=2^(-61/20)5^(-1/4)(sqrt(5)-2)^(1/2)(sqrt(10)+3)(beta(1/8)beta(7/(40)))/(beta(1/340))
(32)
=2^(-15/4)5^(-3/4)(sqrt(5)-2)^(1/2)(beta(1/(40))beta(1/940))/(beta(3/8))
(33)
K(k_(11))=R·2^(-7/11)sin(1/(11)pi)sin(3/(11)pi)B(1/(22),3/(22))
(34)
K(k_(13))=2^(-3)13^(-5/8)(5sqrt(13)+18)^(1/4)[tan(1/(52)pi)tan(3/(52)pi)tan(9/(52)pi)]^(1/2)(beta(1/(52))beta(9/(52)))/(beta((23)/(52)))
(35)
K(k_(14))=sqrt(sqrt(4sqrt(2)+2)+sqrt(2)+sqrt(2sqrt(2)-1))·2^(-13/4)7^(-3/8)×[(tan(5/(56)pi)tan((13)/(56)pi))/(tan((11)/(56)pi))]^(1/4)sqrt((beta(5/(56))beta((13)/(56))beta(1/8))/(beta((11)/(56))))
(36)
K(k_(15))=2^(-1)3^(-3/4)5^(-7/12)B(1/(15),4/(15))
(37)
=(2^(-2)3^(-3/4)5^(-3/4)(sqrt(5)-1)beta(1/(15))beta(4/(15)))/(beta(1/3))
(38)
K(k_(17))=C_2[(beta(1/(68))beta(3/(68))beta(7/(68))beta(9/(68))beta((11)/(68))beta((13)/(68)))/(beta(5/(68))beta((15)/(68)))]^(1/4),
(39)

其中 R 是實數 根 的

x^3-4x=4=0
(40)

且 C_2 是一個代數數 (Borwein 和 Zucker 1992)。請注意，K(k_(11)) 是上面列表中唯一不能用 中心 Beta 函式 表示的值。

使用 橢圓 alpha 函式，第二類 橢圓積分 也可以從以下公式找到

E=pi/(4sqrt(r)K)+[1-(alpha(r))/(sqrt(r))]K
(41)
E^'=pi/(4K)+alpha(r)K,
(42)

根據定義，

K^'=Ksqrt(r).
(43)

另請參閱

中心 Beta 函式, 橢圓 Alpha 函式, 橢圓 Delta 函式, 第一類橢圓積分, 第二類橢圓積分, 橢圓 Lambda 函式, 橢圓模量, 伽瑪函式

使用 探索

參考文獻

Abel, N. H. "Recherches sur les fonctions elliptiques." J. reine angew. Math. 3, 160-190, 1828. Reprinted in Abel, N. H. Oeuvres Completes (Ed. L. Sylow and S. Lie). New York: Johnson Reprint Corp., p. 377, 1988.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Elliptic Integral Evaluation of the Gamma Function at Rational Values of Small Denominator." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.Bowman, F. Introduction to Elliptic Functions, with Applications. New York: Dover, pp. 75, 95, and 98, 1961.Glasser, M. L. and Wood, V. E. "A Closed Form Evaluation of the Elliptic Integral." Math. Comput. 22, 535-536, 1971.Selberg, A. and Chowla, S. "On Epstein's Zeta-Function." J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 524-528, 1990.Wrigge, S. "An Elliptic Integral Identity." Math. Comput. 27, 837-840, 1973.Zucker, I. J. "The Evaluation in Terms of Gamma-Functions of the Periods of Elliptic Curves Admitting Complex Multiplication." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 82, 111-118, 1977.Zucker, I. J. and Joyce, G. S. "Special Values of the Hypergeometric Series II." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 131, 309-319, 2001.

在 中引用

橢圓積分奇異值

請按如下方式引用

魏斯坦, 埃裡克·W. "橢圓積分奇異值。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/EllipticIntegralSingularValue.html

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