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中心 Beta 函式

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中心 beta 函式定義為

beta(p)=B(p,p),
(1)

其中 B(p,q) 是 beta 函式。它滿足以下恆等式

beta(p)=2^(1-2p)B(p,1/2)
(2)
=2^(1-2p)cos(pip)B(1/2-p,p)
(3)
=int_0^1(t^pdt)/((1+t)^(2p))
(4)
=2/pproduct_(n=1)^(infty)(n(n+2p))/((n+p)(n+p)).
(5)

當 p=1/2 時，後者給出 Wallis 公式。對於 p=1, 2, ...，前幾個值是 1, 1/6, 1/30, 1/140, 1/630, 1/2772, ... (OEIS A002457)，它們的denominator是 (n-1)!^2/(2n-1)!。

當 p=a/b 時，

bbeta(a/b)=2^(1-2a/b)J(a,b),
(6)

其中

J(a,b)=int_0^1(t^(alpha-1)dt)/(sqrt(1-t^b)).
(7)

中心 beta 函式滿足

(2+4x)beta(1+x)=xbeta(x)
(8)
(1-2x)beta(1-x)beta(x)=2picot(pix)
(9)
beta(1/2-x)=2^(4x-1)tan(pix)beta(x)
(10)
beta(x)beta(x+1/2)=2^(4x+1)pibeta(2x)beta(2x+1/2).
(11)

對於 p 為奇 正整數，中心 beta 函式滿足恆等式

beta(px)=1/(sqrt(p))product_(k=1)^((p-1)/2)(2x+(2k-1)/p)/(2pi)product_(k=0)^(p-1)beta(x+k/p).
(12)

另請參閱

Beta 函式, 正則 Beta 函式

使用 探索

參考文獻

Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Elliptic Integral Evaluation of the Gamma Function at Rational Values of Small Denominators." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.Sloane, N. J. A. Sequence A002457/M4198 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

中心 Beta 函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "中心 Beta 函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CentralBetaFunction.html

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