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第一類完全橢圓積分

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EllipticK
EllipticKReIm
EllipticKContours

第一類完全橢圓積分 K(k)，如上所示，是關於橢圓模數 k 的函式，定義為

K(k)=F(1/2pi,k)
(1)
=pi/2sum_(n=0)^(infty)[((2n-1)!!)/((2n)!!)]^2k^(2n)
(2)
=1/2pi_2F_1(1/2,1/2;1;k^2)
(3)

其中 F(phi,k) 是不完全第一類橢圓積分，而 _2F_1(a,b;c;x) 是超幾何函式。

它在 Wolfram 語言中實現為EllipticK[m]，其中 m=k^2 是引數。

它滿足恆等式

pi/(2sqrt(1-k^2))P_(-1/2)((1+k^2)/(1-k^2))=1/(sqrt(1-k^2))K(sqrt((k^2)/(k^2-1))),
(4)

其中 P_n(x) 是勒讓德多項式。這簡化為

pi/(2sqrt(1-k^2))P_(-1/2)((1+k^2)/(1-k^2))=K(k)
(5)

對於 k 的所有複數值，可能除了實數 k 且 |k|>1 的情況。

此外，K(k) 滿足恆等式

[K(sqrt(1/2(1-sqrt((1-2k^2)^2))))]^2 =(pi^2)/4sum_(n=0)^infty[((2n-1)!!)/((2n)!!)]^3(2kk^')^(2n),
(6)

其中 k^'=sqrt(1-k^2) 是互補模數。令人驚訝的是，這簡化為優美的形式

[K(k)]^2=(pi^2)/4sum_(n=0)^infty[((2n-1)!!)/((2n)!!)]^3(2kk^')^(2n)
(7)

對於 0<k<=1/sqrt(2) (Watson 1908, 1939)。

K(k) 可以用閉合形式計算 k=k_n 的特殊值，其中 k_n 稱為橢圓積分奇異值。其他特殊值包括

K(-iinfty)=0
(8)
K(-infty)=0
(9)
K(0)=1/2pi
(10)
K(infty)=0
(11)
K(iinfty)=0.
(12)

K(ik) 滿足

K(ik)=1/(sqrt(k^2+1))K(sqrt((k^2)/(k^2+1)))
(13)

可能模 sqrt(k^2) 的問題，這可以從 Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 593) 中的公式 17.4.17 推匯出來。

K(k) 透過以下方式與雅可比橢圓函式相關

K(k)=1/2pitheta_3^2(q),
(14)

其中 nome 定義為

q=e^(-piK^'(k)/K(k)),
(15)

其中 K^'(k)=K(k^')，其中 k^'=sqrt(1-k^2) 是互補模數。

K(k) 滿足勒讓德關係式

E(k)K^'(k)+E^'(k)K(k)-K(k)K^'(k)=1/2pi,
(16)

其中 K(k) 和 E(k) 分別是第一類和第二類橢圓全積分，而 K^'(k) 和 E^'(k) 是互補積分。模數 k 為了簡潔起見通常被省略，因此 K(k) 和 E(k) 通常簡寫為 K 和 E。

互補模數的積分 K(k^') 由下式給出

K(k^')=int_0^1(dt)/(sqrt((1-t^2)(1-k^('2)t^2)))
(17)

(Whittaker 和 Watson 1990, p. 501)，以及

(dK)/(dk)=(E(k))/(k(1-k^2))-(K(k))/k
(18)
d/(dk)(kk^('2)(dK)/(dk))=kK(k)
(19)

(Whittaker 和 Watson 1990, p. 521)，所以

E(k)=k(1-k^2)[(dK)/(dk)+(K(k))/k]
(20)
=(1-k^2)[k(dK)/(dk)+K(k)]
(21)

(參見 Whittaker 和 Watson 1990, p. 521)。

EllipticKODE

微分方程的解

d/(dk)[k(1-k^2)(dy)/(dk)]-ky=0
(22)

(Zwillinger 1997, p. 122; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 907) 是

y=C_1K(k)+C_2K^'(k),
(23)

其中兩個解如上所示，K^'(k)=K(sqrt(1-k^2))。

K(k) 的定積分包括

int_0^1K(k)dk=2K
(24)
int_0^1K(sqrt(k))dk=2
(25)
int_0^1K(k^(1/4))dk=(20)/9
(26)
int_0^1(K(k^(1/4)))/(k^(1/4))dk=4,
(27)

其中 K（不要與 K(k) 混淆）是卡塔蘭常數。

另請參閱

第三類完全橢圓積分、第二類完全橢圓積分、第一類橢圓積分、橢圓積分奇異值

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticK/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 紐約: Dover, 1972.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 積分表、級數表和乘積表，第 6 版。 聖地亞哥, CA: Academic Press, 2000.Watson G. N. "超幾何函式乘積的展開式。" Quart. J. Pure Appl. Math. 39, 27-51, 1907.Watson G. N. "超幾何函式平方的級數。" Quart. J. Pure Appl. Math. 40, 46-57, 1908.Watson, G. N. "三個三重積分。" Quart. J. Math., Oxford Ser. 2 10, 266-276, 1939.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 現代分析教程，第 4 版。 英國劍橋: Cambridge University Press, 1990.Zwillinger, D. 微分方程手冊，第 3 版。 波士頓, MA: Academic Press, p. 122, 1997.

在 上引用

第一類完全橢圓積分

請引用為

Weisstein, Eric W. "第一類完全橢圓積分。" 來自 -- Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/CompleteEllipticIntegraloftheFirstKind.html

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