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Nome

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Nome

給定一個 Jacobi theta 函式，nome 定義為

q(k)=e^(piitau)
(1)
=e^(-piK^'(k)/K(k))
(2)
=e^(-piK(sqrt(1-k^2))/K(k))
(3)

(Borwein 和 Borwein 1987, pp. 41, 109 和 114)，其中 tau 是半週期比， K(k) 是第一類完全橢圓積分，而 k 是橢圓模量。 nome 在 Wolfram 語言中實現為EllipticNomeQ[m]。

查閱文獻時需要格外小心，因為在模函數理論（特別是 Dedekind eta 函式）中，通常使用符號 q 來表示 e^(2piitau)，即通常 nome 的平方（例如，Berndt 1993, p. 139）。 在本文中，q 的模版本表示為

q^_=q^2=e^(2piitau)
(4)

(例如，Borwein 和 Borwein 1987, p. 118)。

NomeReIm
NomeContours

上面繪製了複數 k-平面中的 nome。

涉及 nome 的 Jacobi theta 函式的各種表示法包括

theta_i(z,q)=theta(z|tau),
(5)

其中 tau 是半週期比 (Whittaker 和 Watson 1990, p. 464) 並且

theta_i=theta(0,q).
(6)

特殊值包括

q(0)=0
(7)
q(1/2)=e^(-pi)
(8)
q(1)=1.
(9)

nome 在引數 m 中具有麥克勞林級數，由下式給出

q(m)=1/(16)m+1/(32)m^2+(21)/(1024)m^3+(31)/(2048)m^4+(6257)/(524288)m^5+...
(10)

(OEIS A002639 和 A119349)。

nome 的導數為

(dq(m))/(dm)=(pi^2q(m))/(4(1-m)m[K(m)]^2),
(11)

其中 K(m) 是第一類完全橢圓積分，而 m=k^2 是橢圓模量。

存在一個非線性三階微分方程

(m-1)^2m^2[q^'(m)]^4-q(m)^2{3(m-1)^2[q^('')(m)]^2m^2-2(m-1)^2q^'(m)q^((3))(m)m^2+(m^2-m+1)[q^'(m)]^2}=0
(12)

對於 q(m) (Bertrand 和 Zudilin 2000; Trott 2006, pp. 29-31)。

另請參閱

橢圓特徵, 橢圓積分, 橢圓模量, 半週期比, 逆 Nome, Jacobi 幅度, Jacobi Theta 函式, 模角, 模判別式, 引數

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticNomeQ/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 591, 1972.Berndt, B. C. Ramanujan's Theory of Theta-Functions, Theta Functions: from the Classical to the Modern. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 1-63, 1993.Bertrand, D.; 和 Zudilin, W. "On the Transcendence Degree of the Differential Field Generated by Siegel Modular Forms." 2000 年 6 月 23 日。 http://arxiv.org/abs/math.NT/0006176.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: 解析數論和計算複雜性研究。 New York: Wiley, 1987.Bramhall, J. N. "An Iterative Method for Inversion of Power Series." Comm. ACM 4, 317-318, 1961.Ferguson, H. R. P.; Nielsen, D. E.; 和 Cook, G. "A Partition Formula for the Integer Coefficients of the Theta Function Nome." Math. Comput. 29, 851-855, 1975.Fettis, H. E. "Note on the Computation of Jacobi's Nome and Its Inverse." Computing 4, 202-206, 1969.Fletcher, A. §III in "Guide to Tables of Elliptic Functions." Math. Tables Other Aids Computation 3, 229-281, 1948."Guide to Tables." §III in Math. Tables Other Aids Computation 3, 234, 1948.Hermite, C. Oeuvres, Vol. 4. Paris: Gauthier-Villars, p. 477, 1917.Lowan, A. N.; Blanch, G.; 和 Horenstein, W. "On the Inversion of the q-Series Associated with Jacobian Elliptic Functions." Bull. Amer. Math. Soc. 48, 737-738, 1942.Sloane, N. J. A. Sequences A002639/M5108 和 A119349 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Tannery, J. 和 Molk, J. Eléments de la théorie des fonctions elliptiques, Vol. 4. Paris: Gauthier-Villars, p. 141, 1902.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Symbolics. New York: Springer-Verlag, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Wang, Z. X. 和 Guo, D. R. Special Functions. Singapore: World Scientific, p. 512, 1989.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 現代分析教程，第 4 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 上被引用

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請按如下方式引用

Weisstein, Eric W. "Nome." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Nome.html

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