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雅可比 Theta 函式

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雅可比 theta 函式是 指數函式的橢圓模擬，可用於表達 雅可比橢圓函式。theta 函式是準雙週期函式，在現代文獻中最常見的表示方法是 theta_n(z,q)，儘管有時也使用符號 Theta_n(z,q) 和 theta_n(z,q) (Borwein 和 Borwein 1987)。Whittaker 和 Watson (1990, p. 487) 給出了一個表格，總結了早期作家使用的符號。

theta 函式在 Wolfram 語言中由下式給出EllipticTheta[n, z, q]，它們的導數由下式給出EllipticThetaPrime[n, z, q]。

理想氣體的平動配分函式可以使用橢圓 theta 函式推匯出來（Golden 1961, pp. 119 和 133；Melzak 1973, p. 122；Levine 2002, p. 838）。

theta 函式可以用 nome q 表示，記為 theta_n(z,q)，或用 半週期比 tau 表示，記為 theta_n(z|tau)，其中 |q|<1 且 q 和 tau 的關係為

q=e^(ipitau).
(1)

設 多值函式 q^lambda 被解釋為代表 e^(lambdapiitau)。那麼對於複數 z，雅可比 theta 函式定義為

theta_1(z,q)=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^(n-1/2)q^((n+1/2)^2)e^((2n+1)iz)
(2)
theta_2(z,q)=sum_(n=-infty)^(infty)q^((n+1/2)^2)e^((2n+1)iz)
(3)
theta_3(z,q)=sum_(n=-infty)^(infty)q^(n^2)e^(2niz)
(4)
theta_4(z,q)=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)e^(2niz).
(5)

將雙重無限和寫成單重無限和，得到稍微不太對稱的形式

theta_1(z,q)=2sum_(n=0)^(infty)(-1)^nq^((n+1/2)^2)sin[(2n+1)z]
(6)
=2q^(1/4)sum_(n=0)^(infty)(-1)^nq^(n(n+1))sin[(2n+1)z]
(7)
theta_2(z,q)=2sum_(n=0)^(infty)q^((n+1/2)^2)cos[(2n+1)z]
(8)
=2q^(1/4)sum_(n=0)^(infty)q^(n(n+1))cos[(2n+1)z]
(9)
theta_3(z,q)=1+2sum_(n=1)^(infty)q^(n^2)cos(2nz)
(10)
theta_4(z,q)=1+2sum_(n=1)^(infty)(-1)^nq^(n^2)cos(2nz)
(11)

（Whittaker 和 Watson 1990, pp. 463-464）。顯式寫出級數得到

theta_1(z,q)=2q^(1/4)sinz-2q^(9/4)sin(3z)+2q^(25/4)sin(5z)+...
(12)
theta_2(z,q)=2q^(1/4)cosz+2q^(9/4)cos(3z)+2q^(25/4)cos(5z)+...
(13)
theta_3(z,q)=1+2qcos(2z)+2q^4cos(4z)+2q^9cos(6z)+...
(14)
theta_4(z,q)=1-2qcos(2z)+2q^4cos(4z)-2q^9cos(6z)+...
(15)

（Borwein 和 Borwein 1987, p. 52；Whittaker 和 Watson 1990, p. 464）。theta_1(z,q) 是 z 的 奇函式，而其他三個是 z 的偶函式。

下表說明了雅可比 theta 函式的準雙週期性。

theta_itheta_i(z+pi)/theta_i(z)theta_i(z+taupi)/theta_i(z)
theta_1-1-N
theta_2-1N
theta_31N
theta_41-N

這裡，

N=q^(-1)e^(-2iz).
(16)

對於 theta_4 的具體情況，準週期性可以如下建立：

theta_4(z+pi,q)=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)e^(2niz)e^(2nipi)
(17)
=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)e^(2niz)
(18)
=theta_4(z,q)
(19)
theta_4(z+pitau,q)=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)e^(2nipit)e^(2niz)
(20)
=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)q^(2n)e^(2niz)
(21)
=-q^(-1)e^(-2iz)sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^(n+1)q^((n+1)^2)q^(2(n+1)iz)
(22)
=-q^(-1)e^(-2iz)sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)q^(2niz)
(23)
=-q^(-1)e^(-2iz)theta_4(z,q).
(24)

雅可比 theta 函式可以用彼此表示

theta_1(z,q)=-ie^(iz+piitau/4)theta_4(z+1/2pitau,q)
(25)
theta_2(z,q)=theta_1(z+1/2pi,q)
(26)
theta_3(z,q)=theta_4(z+1/2pi,q)
(27)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 464）。給定自變數的任何雅可比 theta 函式都可以用任意其他兩個具有相同自變數的雅可比 theta 函式表示。

函式 theta_3(z,q) 和 theta_4(z,q) 滿足恆等式

theta_4(z,q)=theta_3(z,-q).
(28)
JacobiThetaFunctions

定義

theta_i(q)=theta_i(z=0,q)
(29)

為自變數 z=0 的雅可比 theta 函式，如上圖所示。那麼雙重無限和 (◇) 到 (◇) 採取特別簡單的形式

theta_1(q)=0
(30)
theta_2(q)=sum_(n=-infty)^(infty)q^((n+1/2)^2)
(31)
=q^(1/4)(2+2q^2+2q^6+2q^(12)+2q^(20)+2q^(30)+...)
(32)
theta_3(q)=sum_(n=-infty)^(infty)q^(n^2)
(33)
=1+2q+2q^4+2q^9+2q^(16)+2q^(25)+...
(34)
theta_4(q)=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)
(35)
=1-2q+2q^4-2q^9+2q^(16)-2q^(25)+...
(36)

（OEIS A089800, A000122, 和 A000122；Borwein 和 Borwein 1987, p. 33）。

函式 theta_3(q) 也由下式給出

theta_3(q)=((-q,-q)_infty)/((q,-q)_infty),
(37)

其中 (a;q)_infty 是一個 q-Pochhammer 符號。

函式

theta(x)=sum_(n=-infty)^(infty)e^(-n^2pix)
(38)
=theta_3(0,e^(-pix))
(39)
=theta_3(0|ix)
(40)

有時在數論背景下定義（Davenport 1980, p. 62）。類似地，函式

psi(x)=sum_(n=1)^(infty)e^(-n^2pix)
(41)
=1/2[theta_3(0,e^(-pix))-1]
(42)

有時也定義（Edwards 2001, p. 15）。此函式滿足

(1+2psi(x))/(1+2psi(x^(-1)))=1/(sqrt(x))
(43)

（Jacobi 1828；Riemann 1859；Edwards 2001, p. 15），Jacobi 將其歸因於泊松，並遵循 泊松求和公式。也滿足恆等式

1/2+psi(1)+4psi^'(1)=0
(44)

（Edwards 2001, p. 17）。

特殊值包括

theta_3(e^(-pi))=(pi^(1/4))/(Gamma(3/4)) theta_3(e^(-pisqrt(2)))=(Gamma(9/8))/(Gamma(5/4))sqrt((Gamma(1/4))/(2^(1/4)pi)) theta_3(e^(-pisqrt(6))) =[-(Gamma(1/(24))Gamma(5/(24))Gamma(7/(24))Gamma((11)/(24)))/(16sqrt(6)(-18-12sqrt(2)+10sqrt(3)+7sqrt(6))pi^3)]^(1/4) theta_4(-e^(-pi))=(pi^(1/4))/(Gamma(3/4)) theta_4(e^(-pi))=(pi^(1/4))/(2^(1/4)Gamma(3/4))
(45)

和

(theta_2(-e^(-pisqrt(3))))/(theta_3(-e^(-pisqrt(3))))=(4sqrt(3)-7)^(1/4),
(46)

其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式，其中大多數是 拉馬努金 theta 函式的特殊情況。

O. Marichev（私人通訊，2008 年 7 月）給出的特殊導數值為

theta_4^'(e^(-pi))=-(e^pi[pi^2-2Gamma^4(3/4)])/(8·2^(1/4)pi^(3/4)Gamma^5(3/4)).
(47)
JacobiThetaZQ

上面的圖顯示了雅可比 theta 函式作為自變數 z 和 nome q 的函式繪製的圖，限制為實數值。

JacobiTheta1
JacobiTheta2
JacobiTheta3
JacobiTheta4

透過檢查固定 z 在複平面中對於 |q|<1 的 theta_i(z,q) 的 實部和 虛部，可以獲得特別漂亮的圖，如上圖所示。

雅可比 theta 函式滿足幾乎令人眼花繚亂的大量恆等式，這些恆等式涉及四個函式、它們的導數、自變數的倍數和自變數的和。Whittaker 和 Watson (1990) 給出的不尋常恆等式包括

theta_3(z,q)=theta_3(2z,q^4)+theta_2(2z,q^4)
(48)
theta_4(z,q)=theta_3(2z,q^4)-theta_2(2z,q^4)
(49)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 464）和

(theta_k^'(z+pi))/(theta_k(z+pi))=(theta_k^'(z))/(theta_k(z))
(50)
(theta_k^'(z+pitau))/(theta_k(z+pitau))=-2i+(theta_k^'(z))/(theta_k(z))
(51)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 465），對於 k=1, ..., 4，其中 theta_k(z)=theta_k(z,q) 和 theta_i=theta_i(0,q)。涉及雅可比 theta 函式平方的一類恆等式是

theta_1^2(z)theta_4^2=theta_3^2(z)theta_2^2-theta_2^2(z)theta_3^2
(52)
theta_2^2(z)theta_4^2=theta_4^2(z)theta_2^2-theta_1^2(z)theta_3^2
(53)
theta_3^2(z)theta_4^2=theta_4^2(z)theta_3^2-theta_1^2(z)theta_2^2
(54)
theta_4^2(z)theta_4^2=theta_3^2(z)theta_3^2-theta_2^2(z)theta_2^2
(55)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 466）。在 (55) 中取 z=0 得到特殊情況

theta_4^4=theta_3^4-theta_2^4,
(56)

這是此型別的唯一恆等式。

此外，

theta_3^2(x)=1+4(x/(1-x)-(x^3)/(1-x^3)+(x^5)/(1-x^5)-(x^7)/(1-x^7)+...)
(57)
theta_3^4(x)=1+8(x/(1-x)+(2x^2)/(1+x^2)+(3x^3)/(1-x^3)+(4x^4)/(1+x^4)+...).
(58)

雅可比 theta 函式遵循加法規則，例如

theta_1(y+z)theta_1(y-z)theta_4^2=theta_3^2(y)theta_2^2(z)-theta_2^2(y)theta_3^2(z)
(59)
=theta_1^2(y)theta_4^2(z)-theta_4^2(y)theta_1^2(z)
(60)
theta_2(y+z)theta_2(y-z)theta_4^2=theta_4^2(y)theta_2^2(z)-theta_1^2(y)theta_3^2(z)
(61)
=theta_2^2(y)theta_4^2(y)-theta_3^2(y)theta_1^2(z)
(62)
theta_3(y+z)theta_3(y-z)theta_4^2=theta_4^2(y)theta_3^2(z)-theta_1^2(y)theta_2^2(z)
(63)
=theta_3^2(y)theta_4^2(z)-theta_2^2(y)theta_1^2(z)
(64)
theta_4(y+z)theta_4(y-z)theta_4^2=theta_3^2(y)theta_3^2(z)-theta_2^2(y)theta_2^2(z)
(65)
=theta_4^2(y)theta_4^2(z)-theta_1^2(y)theta_1^2(z)
(66)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 487），

theta_3(y+z)theta_3(y-z)theta_2^2=theta_3^2(y)theta_2^2(z)+theta_4^2(y)theta_1^2(z)
(67)
=theta_2^2(y)theta_3^2(z)+theta_1^2(y)theta_4^2(z)
(68)
theta_3(y+z)theta_3(y-z)theta_3^2=theta_1^2(y)theta_1^2(z)+theta_3^2(y)theta_3^2(z)
(69)
=theta_2^2(y)theta_2^2(z)+theta_4^2(y)theta_4^2(z)
(70)
theta_4(y+z)theta_4(y-z)theta_2^2=theta_4^2(y)theta_2^2(z)+theta_3^2(y)theta_1^2(z)
(71)
=theta_2^2(y)theta_4^2(z)+theta_1^2(y)theta_3^2(z)
(72)
theta_4(y+z)theta_4(y-z)theta_3^2=theta_4^2(y)theta_3^2(z)+theta_2^2(y)theta_1^2(z)
(73)
=theta_3^2(y)theta_4^2(z)+theta_1^2(y)theta_2^2(z)
(74)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 488），和

theta_1(y+/-z)theta_2(y∓z)theta_3theta_4 =theta_1(y)theta_2(y)theta_3(z)theta_4(z)+/-theta_3(y)theta_4(y)theta_1(z)theta_2(z) theta_1(y+/-z)theta_3(y∓z)theta_2theta_4 =theta_1(y)theta_3(y)theta_2(z)theta_4(z)+/-theta_2(y)theta_4(y)theta_1(z)theta_3(z) theta_1(y+/-z)theta_4(y∓z)theta_2theta_3 =theta_1(y)theta_4(y)theta_2(z)theta_3(z)+/-theta_2(y)theta_3(y)theta_1(z)theta_4(z) theta_2(y+/-z)theta_3(y∓z)theta_2theta_3 =theta_2(y)theta_3(y)theta_2(z)theta_3(z)∓theta_1(y)theta_4(y)theta_1(z)theta_4(z) theta_2(y+/-z)theta_4(y∓z)theta_2theta_4 =theta_2(y)theta_4(y)theta_2(z)theta_4(z)∓theta_1(y)theta_3(y)theta_1(z)theta_3(z) theta_3(y+/-z)theta_4(y∓z)theta_3theta_4 =theta_3(y)theta_4(y)theta_3(z)theta_4(z)∓theta_1(y)theta_2(y)theta_1(z)theta_2(z)
(75)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 488）。

還有一系列 倍角公式

theta_3(2z)theta_3^3=theta_3^4(z)+theta_1^4(z)
(76)
theta_2(2z)theta_2theta_4^2=theta_2^2(z)theta_4^2(z)-theta_1^2(z)theta_3^2(z)
(77)
theta_3(2z)theta_3theta_4^2=theta_3^2(z)theta_4^2(z)-theta_1^2(z)theta_2^2(z)
(78)
theta_4(2z)theta_4^3=theta_3^4(z)-theta_2^4(z)
(79)
=theta_4^4(z)-theta_1^4(z)
(80)
theta_1(2z)theta_2theta_3theta_4=2theta_1(z)theta_2(z)theta_3(z)theta_4(z)
(81)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 488）。

雅可比 theta 函式導數與函式本身的比率具有簡單的形式

(theta_1^'(z))/(theta_1(z))=cotz+4sum_(n=1)^(infty)(q^(2n))/(1-q^(2n))sin(2nz)
(82)
=cotz+4sum_(n=1)^(infty)(q^(2n)sin(2z))/(q^(4n)-2q^(2n)cos(2z)+1)
(83)
(theta_2^'(z))/(theta_2(z))=-tanz+4sum_(n=1)^(infty)(-1)^n(q^(2n))/(1-q^(2n))sin(2nz)
(84)
=-tanz-4sum_(n=1)^(infty)(q^(2n)sin(2z))/(q^(4n)+2q^(2n)cos(2z)+1)
(85)
(theta_3^'(z))/(theta_3(z))=4sum_(n=1)^(infty)(-1)^n(q^n)/(1-q^(2n))sin(2nz)
(86)
=-4sum_(n=1)^(infty)(q^(2n-1)sin(2z))/(2q^(2n-1)cos(2z)+q^(4n-2)+1)
(87)
(theta_4^'(z))/(theta_4(z))=4sum_(n=1)^(infty)(q^(2n-1)sin(2z))/(1-2q^(2n-1)cos(2z)+q^(4n-2))
(88)
=4sum_(n=1)^(infty)(q^nsin(2nz))/(1-q^(2n))
(89)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 489）。

雅可比 theta 函式可以用乘積而不是和來表示，如下所示

theta_1(z)=2Gq^(1/4)sinzproduct_(n=1)^(infty)[1-2q^(2n)cos(2z)+q^(4n)]
(90)
theta_2(z)=2Gq^(1/4)coszproduct_(n=1)^(infty)[1+2q^(2n)cos(2z)+q^(4n)]
(91)
theta_3(z)=Gproduct_(n=1)^(infty)[1+2q^(2n-1)cos(2z)+q^(4n-2)]
(92)
theta_4(z)=Gproduct_(n=1)^(infty)[1-2q^(2n-1)cos(2z)+q^(4n-2)],
(93)

其中

G=product_(n=1)^infty(1-q^(2n))
(94)

（Whittaker 和 Watson 1990, pp. 469-470）。

Zucker (1990) 給出了額外的漂亮乘積（“尤拉”）形式，部分總結在下表中，其中

(n)=product_(k=1)^infty(1-q^(kn))
(95)

且 q-乘積寫為 w=Q_0, x=Q_1, y=Q_2, 和 z=Q_3。

theta 函式OEIS尤拉型雅可比型
theta_3(q)A000122((2)^5)/((1)^2(4)^2)wz^2
theta_4(q)A002448((1)^2)/((2))wy^2
theta_4(q^2)A089798((2)^2)/((4))wyz
theta_2(q^(1/2))A0897992q^(1/8)((2)^2)/((1))2q^(1/8)wxz
theta_2(q)A0898002q^(1/4)((4)^2)/((2))2q^(1/4)wx^2
1/2[theta_3(q^(1/3))-theta_3(q^3)]A089801q^(1/3)((2)^2(3)(12))/((1)(4)(6))q^(1/3)z|wxy|q^3
1/2[theta_4(q^3)-theta_4(q^(1/3))]A089802q^(1/3)((1)(6)^2)/((2)(3))q^(1/3)y|wxz|q^3
1/2[theta_4(q^6)-theta_4(q^(2/3))]A089805q^(2/3)((2)(12)^2)/((4)(6))q^(2/3)yz|wx^2|q^3
1/2[theta_2(q^(1/6))-theta_2(q^(3/2))]A080995q^(1/24)((2)(3)^2)/((1)(6))q^(1/24)xz|wy^2|q^3
1/2[theta_2(q^(1/3))-theta_2(q^3)]A089806q^(1/12)((4)(6)^2)/((2)(12))q^(1/12)x|wyz|q^3
1/2[3theta_3(q^9)-theta_3(q)]A089807((1)(4)(6)^2)/((2)(3)(12))wxy|z|q^3
1/2[3theta_4(q^9)-theta_4(q)]A089810((2)^2(3))/((1)(6))wxz|y|q^3
1/2[3theta_4(q^(18))-theta_4(q^2)]A089811((4)^2(6))/((2)(12))wx^2|yz|q^3
1/2[theta_2(q^(1/2))-3theta_2(q^(9/2))]A089812q^(1/8)((1)^2(6))/((2)(3))q^(1/8)wy^2|xz|q^3
1/2[theta_2(q)-3theta_2(q^9)]A089813q^(1/4)((2)^2(12))/((4)(6))q^(1/4)wyz|x|q^3

其他恆等式包括

theta_4(q)=(2)product_(k=1)^(infty)(1-q^(2k-1))^2
(96)
theta_4^3(q)=((1)^4)/((2))product_(k=1)^(infty)(1-q^(2k-1))^2.
(97)

這裡，

product_(k=1)^infty(1-q^(2k-1))^2=1-2q+q^2-2q^3+4q^4+...
(98)

（OEIS A022597）。

雅可比 theta 函式滿足 偏微分方程

1/4pii(partial^2y)/(partialz^2)+(partialy)/(partialtau)=0,
(99)

其中 y=theta_j(z|tau)。分母中帶有 theta_4 的雅可比 theta 函式的比率也滿足微分方程

d/(dz)[(theta_1(z))/(theta_4(z))]=theta_4^2(theta_2(z)theta_3(z))/(theta_4^2(z))
(100)
d/(dz)[(theta_2(z))/(theta_4(z))]=-theta_3^2(theta_1(z)theta_3(z))/(theta_4^2(z))
(101)
d/(dz)[(theta_3(z))/(theta_4(z))]=-theta_2^2(theta_1(z)theta_2(z))/(theta_4^2(z)).
(102)

雅可比虛數變換用 theta_i(z|tau) 表示 theta_i(z/tau|-1/tau)。存在大量漂亮的恆等式，涉及自變數為 w、x、y 和 z 以及 w^'、x^'、y^' 和 z^' 的雅可比 theta 函式，它們透過下式相關聯

2w^'=-w+x+y+z
(103)
2x^'=w-x-y+z
(104)
2y^'=w+x-y+z
(105)
2z^'=w+x+y-z
(106)

（Whittaker 和 Watson 1990, pp. 467-469, 488, 和 490）。使用符號

theta_i(w+pi/2,q)theta_j(x+pi/2,q)theta_k(y,q)theta_l(z,q)=[ijkl]
(107)
theta_i(w^',q)theta_j(x^',q)theta_k(y^'+pi/2,q)theta_l(z^'+pi/2,q)=ijkl,
(108)

得到多達 288 個形式的恆等式

+/-[a_1a_2a_3a_4]+/-[b_1b_2b_3b_4]=+/-a_1^'a_2^'a_3^'a_4^'+/-b_1^'b_2^'b_3^'b_4^'.
(109)

第一類和第二類完全 橢圓積分可以使用雅可比 theta 函式表示。設

xi=(theta_1(z))/(theta_4(z)),
(110)

並代入 (◇)

((dxi)/(dz))^2=(theta_2^2-xi^2theta_3^2)(theta_3^2-xi^2theta_2^2).
(111)

現在寫

xi(theta_3)/(theta_2)=y
(112)

和

ztheta_3^2=u.
(113)

則

((dy)/(du))^2=(1-y^2)(1-k^2y^2),
(114)

其中 橢圓模量定義為

k=k(q)=(theta_2^2(q))/(theta_3^2(q)).
(115)

也定義互補 橢圓模量

k^'=k^'(q)=(theta_4^2(-q))/(theta_3^2(q)).
(116)

現在，由於

theta_2^4+theta_4^4=theta_3^4,
(117)

我們已經證明

k^2+k^('2)=1.
(118)

方程的解是

y=(theta_3)/(theta_2)(theta_1(utheta_3^(-2)|tau))/(theta_4(utheta_3^(-2)|tau))=sn(u,k),
(119)

這是一個週期為 雅可比橢圓函式

4K(k)=2pitheta_3^2(q)
(120)

和

2iK^'(k)=pitautheta_3^2(q).
(121)

設 K(k) 是模量為 k 的 第一類完全橢圓積分，則

theta_2^2(q)=(2kK(k))/pi
(122)
theta_3^2(q)=(2K(k))/pi
(123)
theta_4^2(q)=(2k^'K(k))/pi,
(124)

其中 k^'=sqrt(1-k^2) 是 互補模量。

雅可比 theta 函式為數學和數學物理學中的許多棘手問題提供瞭解析解。例如，雅可比 theta 函式與 平方和函式 r_2(n) 相關，後者給出了 n 由兩個平方表示的表示數，透過

theta_3^2(q)=sum_(n=0)^(infty)r_2(n)q^n
(125)
theta_4^2(q)=sum_(n=0)^(infty)(-1)^nr_2(n)q^n
(126)

（Borwein 和 Borwein 1987, p. 34）。一般的 五次方程可以用雅可比 theta 函式求解，這些函式還為矩形區域的 格林函式提供了均勻收斂的形式（Oberhettinger 和 Magnus 1949）。

最後，雅可比 theta 函式可以用於 單值化 所有 橢圓曲線。雅可比橢圓函式也可以用於單值化某些超橢圓曲線，儘管只知道兩個這樣的例子。經典例子是 伯恩賽德曲線，第二個是由 Farkas 和 Kra 在 1995 年左右發現的。

另請參閱

Blecksmith-Brillhart-Gerst 定理, 戴德金 eta 函式, 橢圓函式, 半週期比, 雅可比橢圓函式, 雅可比虛數變換, 雅可比三重積, 蘭登公式, Mock Theta 函式, 模方程, 莫代爾積分, 內維爾 Theta 函式, Nome, 五邊形數定理, 龐加萊-福克斯-克萊因自守函式, 五重積恆等式, 拉馬努金 Theta 函式, 施羅特公式, 平方和函式, 韋伯函式

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參考文獻

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在 上被引用

雅可比 Theta 函式

請引用為

Weisstein, Eric W. “雅可比 Theta 函式。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/JacobiThetaFunctions.html

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