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模方程

次數為 n 的模方程給出了 如下形式 的代數關係

(K^'(l))/(K(l))=n(K^'(k))/(K(k))
(1)

在模量為 k 和 l 的 超越 第一類完全橢圓積分 之間。當 k 和 l 滿足模方程時，存在 如下形式 的關係

(M(l,k)dy)/(sqrt((1-y^2)(1-l^2y^2)))=(dx)/(sqrt((1-x^2)(1-k^2x^2)))
(2)

存在，並且 M 稱為乘子。一般來說，如果 p 是一個 奇素數，那麼模方程由下式給出

Omega_p(u,v)=(v-u_0)(v-u_1)...(v-u_p),
(3)

其中

u_p=(-1)^((p^2-1)/8)[lambda(q^p)]^(1/8)
(4)
=(-1)^((p^2-1)/8)u(q^p),
(5)

lambda 是一個 橢圓 lambda 函式，並且

q=e^(ipitau)
(6)

(Borwein 和 Borwein 1987, p. 126)，其中 tau 是 半週期比。一個 橢圓積分 恆等式給出

(K^'(k))/(K(k))=2(K^'((2sqrt(k))/(1+k)))/(K((2sqrt(k))/(1+k))),
(7)

因此，2 次模方程為

l=(2sqrt(k))/(1+k),
(8)

可以寫成

l^2(1+k)^2=4k.
(9)

一些用 k 和 l 表示的低階模方程為

Omega_2=l^2(1+k)^2-4k=0
(10)
Omega_7=(kl)^(1/4)+(k^'l^')^(1/4)-1=0
(11)
Omega_(23)=(kl)^(1/4)+(k^'l^')^(1/4)+2^(2/3)(klk^'l^')^(1/12)-1=0.
(12)

用 u 和 v 表示，

Omega_3(u,v)=u^4-v^4+2uv(1-u^2v^2)=0
(13)
Omega_5(u,v)=v^6-u^6+5u^2v^2(v^2-u^2)+4uv(u^4v^4-1)
(14)
=(u/v)^3+(v/u)^3=2(u^2v^2-1/(u^2v^2))=0
(15)
Omega_7(u,v)=(1-u^8)(1-v^8)-(1-uv)^8=0,
(16)

其中

u^2=sqrt(k)=(theta_2(q))/(theta_3(q))
(17)

和

v^2=sqrt(l)=(theta_2(q^p))/(theta_3(q^p)).
(18)

這裡，theta_i 是 雅可比 theta 函式。

對於 r>=2，次數為 2^r 的模方程可以透過迭代 2^(r-1) 的方程獲得。Borwein 和 Borwein (1987) 給出了素數 p 從 3 到 23 的模方程。

二次模恆等式包括

(theta_3(q))/(theta_3(q^4))-1=[(theta_3^2(q^2))/(theta_3^2(q^4))-1]^(1/2).
(19)

三次恆等式包括

[3(theta_2(q^9))/(theta_2(q))-1]^3=9(theta_2^4(q^3))/(theta_2^4(q))-1
(20)
[3(theta_3(q^9))/(theta_3(q))-1]^3=9(theta_3^4(q^3))/(theta_3^4(q))-1
(21)
[3(theta_4(q^9))/(theta_4(q))-1]^3=9(theta_4^4(q^3))/(theta_4^4(q))-1.
(22)

七階恆等式為

sqrt(theta_3(q)theta_3(q^7))-sqrt(theta_4(q)theta_4(q^7))=sqrt(theta_2(q)theta_2(q^7)).
(23)

來自 Ramanujan (1913-1914),

(1+q)(1+q^3)(1+q^5)...=2^(1/6)q^(1/24)(kk^')^(-1/12)
(24)
(1-q)(1-q^3)(1-q^5)...=2^(1/6)q^(1/24)k^(-1/12)k^('1/6).
(25)

當 k 和 l 滿足模方程時，存在 如下形式 的關係

(M(l,k)dy)/(sqrt((1-y^2)(1-l^2y^2)))=(dx)/(sqrt((1-x^2)(1-k^2x^2)))
(26)

存在，並且 M 稱為乘子。次數為 n 的乘子可以由下式給出

M_n(l,k)=(theta_3^2(q))/(theta_3^2(q^(1/p)))=(K(k))/(K(l)),
(27)

其中 theta_i 是一個 雅可比 theta 函式，並且 K(k) 是第一類完全 橢圓積分。

用 l 和 k 表示的前幾個乘子為

M_2(l,k)=1/(1+k)=(1+l^')/2
(28)
M_3(l,k)=(1-sqrt((l^3)/k))/(1-sqrt((k^3)/l)).
(29)

用為模方程定義的 u 和 v 表示，

M_3=v/(v+2u^3)=(2v^3-u)/(3u)
(30)
M_5=(v(1-uv^3))/(v-u^5)=(u+v^5)/(5u(1+u^3v))
(31)
M_7=(v(1-uv)[1-uv+(uv)^2])/(v-u^7)
(32)
=(v^7-u)/(7u(1-uv)[1-uv+(uv)^2]).
(33)

另請參閱

模形式, 模函式, Schläfli 模形式

使用 探索

參考文獻

Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 127-132, 1987.Hanna, M. "The Modular Equations." Proc. London Math. Soc. 28, 46-52, 1928.Ramanujan, S. "Modular Equations and Approximations to pi." Quart. J. Pure. Appl. Math. 45, 350-372, 1913-1914.

在 上被引用

模方程

請引用為

Weisstein, Eric W. "模方程。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ModularEquation.html

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