模形式

函式 被稱為權為 的整模形式，如果它滿足

1. 在上半平面 上是解析的，

2. 每當 是 模群 Gamma 的成員時，，

3. 的傅立葉級數具有以下形式

(1)

在查閱文獻時必須小心，因為一些作者使用術語“維數 ”或“次數 ”而不是“權 ”，而另一些作者則寫 而不是 (Apostol 1997, pp. 114-115)。更一般的模形式型別（不是“整模”）也可以定義，它們允許在 或 處有極點。由於克萊因絕對不變數 ，它是一個模函式，在 處有一個極點，因此它是權為 0 的非整模形式。

所有權為 的整模形式的集合表示為 ，它是複數域上的線性空間。 的維數對於 、6、8、10 和 14 為 1 (Apostol 1997, p. 119)。

是 在 處的值，如果 ，則該函式稱為尖點形式。使得 的最小 稱為 在 處的零點的階。 的估計指出

(2)

如果 且不是 尖點形式 (Apostol 1997, p. 135)。

如果 是權為 的非零整模形式，令 在基本區域 的閉包（省略頂點）中具有 個零點。那麼

(3)

其中 是在點 處的零點的階 (Apostol 1997, p. 115)。此外，

1. 唯一的權為 的整模形式是常數函式。

2. 如果 是奇數，，或 ，那麼唯一的權為 的整模形式是零函式。

3. 每個非常數整模形式的權 ，其中 是偶數。

4. 唯一的權為 的整尖點形式是零函式。

(Apostol 1997, p. 116)。

對於權為 的偶數 整模形式，定義 對於所有 。那麼 可以唯一表示為和

(4)

其中 是複數， 是艾森斯坦級數，而 是魏爾斯特拉斯橢圓函式的模判別式。尖點形式的偶數 權 是那些 的和 (Apostol 1997, pp. 117-118)。更令人驚訝的是，每個權為 的整模形式 是 和 的多項式，由下式給出

(5)

其中 是複數，並且總和擴充套件到所有滿足 的整數 (Apostol 1998, p. 118)。

模形式滿足相當驚人和特殊的性質，這歸因於它們令人驚訝的內部對稱性陣列。Hecke 發現了每個模形式與相應的狄利克雷 L-級數之間驚人的聯絡。有理橢圓曲線和模形式之間的一個顯著聯絡由谷山-志村猜想給出，該猜想指出任何有理橢圓曲線都是偽裝的模形式。這個結果是安德魯·懷爾斯在他著名的費馬最後定理證明中證明的。