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魏爾斯特拉斯橢圓函式 (Wěi'ěr sī tè lā sī tuǒ yuán hánshù)

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魏爾斯特拉斯橢圓函式（或魏爾斯特拉斯 P 函式，發音為“p 函式”）是橢圓函式，與 雅可比橢圓函式 (Jacobi elliptic functions) 不同，它在 z=0 處具有二階極點 (pole)。為了完全指定 P(z)，必須指定其半週期（omega_1 和 omega_2）或橢圓不變數 (elliptic invariants)（g_2 和 g_3）。這兩種情況分別表示為 P(z|omega_1,omega_2) 和 P(z;g_2,g_3)。

魏爾斯特拉斯橢圓函式在 Wolfram 語言 (Wolfram Language) 中實現為WeierstrassP[u, {g2, g3}]。半週期和不變數可以使用 Wolfram 語言 (Wolfram Language) 命令進行相互轉換WeierstrassInvariants[{omega1, omega2}] 和WeierstrassHalfPeriods[{g2, g3}]。魏爾斯特拉斯橢圓函式的導數實現為WeierstrassPPrime[u, {g2, g3}]，而反魏爾斯特拉斯函式實現為InverseWeierstrassP[p, {g2, g3}]。InverseWeierstrassP[{p, q}, {g2, g3}] 查詢 u 的唯一值，使得 p=P(u;g_2,g_3) 且 q=P^'(u;g_2,g_3)。

WeierstrassP

以上繪圖顯示了 橢圓不變數 (elliptic invariants) g_2=4 和 g_3=0 沿實軸 (real axis)的魏爾斯特拉斯橢圓函式 P(z;g_2,g_3) 及其導數 P^'(z;g_2,g_3)。

WeierstrassPReIm
WeierstrassPContours
WeierstrassPPrimeReIm
WeierstrassPPrimeContours

以上繪圖顯示了 橢圓不變數 (elliptic invariants) (g_2,g_3)=(4,0) 的魏爾斯特拉斯 P 函式及其導數。

橢圓不變數 (elliptic invariants) g_2 和 g_3 的特定情況在下表中總結了特殊名稱（Abramowitz 和 Stegun 1972）。等調和情況 (equianharmonic case)下的實半週期稱為 omega2 常數 (omega2-constant)。

g_2g_3情況名稱 (Qíngkuàng míngchēng)
01等調和情況 (Děng diào hé qíngkuàng)
10雙紐線情況 (Shuāng niǔ xiàn qíngkuàng)
-10偽雙紐線情況 (Wèi shuāng niǔ xiàn qíngkuàng)

魏爾斯特拉斯橢圓函式定義為

P(z)=1/(z^2)+sum^'_(m,n=-infty)^infty[1/((z-2momega_1-2nomega_2)^2)-1/((2momega_1+2nomega_2)^2)]
(1)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 434），其中撇號表示總和中給出零分母的項被省略。寫成 Omega_(mn)=2momega_1+2nomega_2。那麼這可以寫成

P(z)=z^(-2)+sum^'_(m,n)[(z-Omega_(mn))^(-2)-Omega_(mn)^(-2)].
(2)

一個等效的定義，收斂速度更快，是

P(z)=(pi/(2omega_1))^2[-1/3+sum_(n=-infty)^inftycsc^2((z-2nomega_2)/(2omega_1)pi)-sum^'_(n=-infty)^inftycsc^2((nomega_2)/(omega_1)pi)]
(3)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 434）。P(z) 是一個偶函式 (even function)，因為 P(-z) 在不同的順序中給出相同的項。

P(z) 的級數展開式由下式給出

P(z)=z^(-2)+sum_(k=2)^inftyc_kz^(2k-2),
(4)

其中

c_2=(g_2)/(20)
(5)
c_3=(g_3)/(28)
(6)

和

c_k=3/((2k+1)(k-3))sum_(m=2)^(k-2)c_mc_(k-m)
(7)

對於 k>=4（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 635）。c_k 對於 k>=4 的前幾個值以 c_2 和 c_3 表示，由下式給出

c_4=1/3c_2^2
(8)
c_5=1/(11)(3c_2c_3)
(9)
c_6=1/(39)(2c_2^3+3c_3^2)
(10)
c_7=2/(33)c_2^2c_3
(11)
c_8=5/(7293)(11c_2^4+36c_2c_3^2)
(12)
c_9=(29)/(2717)(c_2^3c_3+11c_3^3)
(13)
c_(10)=1/(240669)(242c_2^5+1455c_2^2c_3^2)
(14)

（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 636）。

魏爾斯特拉斯橢圓函式描述瞭如何從給出橢圓曲線 (elliptic curve)解的環面 (torus) 得到橢圓曲線 (elliptic curve)的代數形式。

可以找到魏爾斯特拉斯橢圓函式產生的微分方程，方法是在原點附近展開函式 f(z)=P(z)-z^(-2)。

P(z)-z^(-2)=f(0)+f^'(0)z+1/(2!)f^('')(0)z^2+1/(3!)f^(''')(0)z^3+1/(4!)f^((4))(0)z^4+....
(15)

但是 f(0)=0 且該函式是偶函式，所以 f^'(0)=f^(''')(0)=0 且

f(z)=P(z)-z^(-2)=1/(2!)f^('')(0)z^2+1/(4!)f^((4))(0)z^4+....
(16)

取導數

f^'=-2Sigma^'(z-Omega_(mn))^(-3)
(17)
f^('')=6Sigma^'(z-Omega_(mn))^(-4)
(18)
f^(''')=-24Sigma^'(z-Omega_(mn))^(-5)
(19)
f^((4))=120Sigma^'(z-Omega_(mn))^(-6).
(20)

所以

f^('')(0)=6Sigma^'Omega_(mn)^(-4)
(21)
f^((4))(0)=120Sigma^'Omega_(mn)^(-6).
(22)

代入，

P(z)-z^(-2)=3Sigma^'Omega_(mn)^(-4)z^2+5Sigma^'Omega_(mn)^(-6)z^4+O(z^6).
(23)

定義橢圓不變數 (elliptic invariants)

g_2=60Sigma^'Omega_(mn)^(-4)
(24)
g_3=140Sigma^'Omega_(mn)^(-6),
(25)

那麼

P(z)=z^(-2)+1/(20)g_2z^2+1/(28)g_3z^4+O(z^6)
(26)
P^'(z)=-2z^(-3)+1/(10)g_2z+1/7g_3z^3+O(z^5).
(27)

現在對 (26) 求立方，對 (27) 求平方

P^3(z)=z^(-6)+3/(20)g_2z^(-2)+3/(28)g_3+O(z^2)
(28)
P^'^2(z)=4z^(-6)-2/5g_2z^(-2)-4/7g_3+O(z^2).
(29)

取 (29) 減去 4× (28) 消去 z^(-6) 項，得到

P^'^2(z)-4P^3(z)=(-2/5-3/5)g_2z^(-2)+(-4/7-3/7)g_3+O(z^2)
(30)
=-g_2z^(-2)-g_3+O(z^2)
(31)

給出

P^'^2(z)-4P^3(z)+g_2z^(-2)+g_3=O(z^2).
(32)

但是，從 (◇) 可以得到

P(z)=z^(-2)+1/(2!)f^('')(0)z^2+1/4f^((4))(0)z^4+...,
(33)

所以 P(z)=z^(-2)+O(z^2)，且 (◇) 可以寫成

P^'^2(z)-4P^3(z)+g_2P(z)+g_3=O(z^2).
(34)

但是魏爾斯特拉斯橢圓函式在原點處是解析的，因此在所有與原點全等的點處也是解析的。沒有其他地方可能發生奇點，因此該函式是橢圓函式 (elliptic function)，沒有奇點 (singularities)。根據劉維爾橢圓函式定理 (Liouville's elliptic function theorem)，它因此是一個常數。但是當 z->0 時，O(z^2)->0，所以

P^'^2(z)=4P^3(z)-g_2P(z)-g_3
(35)

（Whittaker 和 Watson 1990, pp. 436-437）。

微分方程的解

y^'^2=4y^3-g_2y-g_3
(36)

因此由 y=P(z+alpha) 給出，前提是存在滿足定義橢圓不變數 (elliptic invariants)的方程的數 omega_1 和 omega_2。用其根 e_1，e_2 和 e_3 表示微分方程，

y^'^2=4y^3-g_2y-g_3=4(y-e_1)(y-e_2)(y-e_3)
(37)

（Rainville 1971, p. 312），

2ln(y^')=ln4+sum_(r=1)^3ln(y-e_r)
(38)
(2y^(''))/(y^')=y^'sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-1)
(39)
(2y^(''))/(y^'^2)=sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-1)
(40)
2(y^'^2y^(''')-y^('')(2y^'y^('')))/(y^'^4)=-y^'sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-2)
(41)
(2y^('''))/(y^'^3)-(4y^('')^2)/(y^'^4)=-sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-2).
(42)

現在取 (◇) 除以 4 加上 [(◇) 除以 4] 的平方量，

((y^('''))/(2y^'^3)-(y^('')^2)/(y^'^4))+((y^('')^2)/(4y^'^4))=-1/4sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-2)+1/(16)[sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-1)]^2
(43)
(3y^('')^2)/(4y^'^4)-(y^('''))/(2y^'^3)=3/(16)sum_(r=1)^3(y-e_r)^(-2)-3/8yproduct_(r=1)^3(y-e_r)^(-1).
(44)

右邊的項是施瓦茨導數 (Schwarzian derivative)的一半。

魏爾斯特拉斯橢圓函式的導數 (derivative)由下式給出

P^'(z)=d/(dz)P(z)
(45)
=-2sum_(m,n)1/((z-Omega_(mn))^3)
(46)
=-2z^(-3)-2sum^'_(m,n)(z-Omega_(mn))^(-3).
(47)

這是一個奇函式 (odd function)，它本身是一個橢圓函式，在 z=0 處具有 3 階極點。 積分 (integral) 由下式給出

z=int_(P(z))^infty(4t^3-g_2t-g_3)^(-1/2)dt.
(48)

二階導數滿足

P^('')(1/2omega_1)=2(e_1-e_2)(e_1-e_3)
(49)

（Apostol 1997, p. 23）。

二倍角公式如下獲得。

P(2z)=lim_(y->z)P(y+z)=1/4lim_(y->z)[(P^'(z)-P^'(y))/(P(z)-P(y))]^2-P(z)-lim_(y->z)P(y)
(50)
=1/4lim_(h->0)[(P(z)-P^'(z+h))/(P(z)-P(z+h))]^2-2P(z)
(51)
=1/4{[lim_(h->0)(P^'(z)-P^'(z+h))/h][lim_(h->0)h/(P(z)-P(z+h))]}^2-2P(z)
(52)
=1/4[(P^('')(z))/(P^'(z))]^2-2P(z)
(53)

（Apostol 1997, p. 24）。

一般加法定理如下獲得。給定

P^'(z)=AP(z)+B
(54)
P^'(y)=AP(y)+B
(55)

零 y 和 z，其中 z≢+/-y(mod 2omega_1,2omega_2)，找到第三個零點 zeta。考慮 P^'(zeta)-AP(zeta)-B。這在 zeta=0 處有一個三階極點，但 橢圓函式 (elliptic function) 的零點之和（=0）等於極點之和，所以 z+y+zeta=0 且 zeta=-z-y。

P^'(-z-y)=AP(-z-y)+B
(56)
-P^'(z+y)=AP(z+y)+B.
(57)

組合 (◇)、(◇) 和 (◇) 得到

[P(z) P^'(z) 1; P(y) P^'(y) 1; P(z+y) -P^'(z+y) 1][A; -1; B]=[0; 0; 0],
(58)

所以

|P(z) P^'(z) 1; P(y) P^'(y) 1; P(z+y) -P^'(z+y) 1|=0.
(59)

定義 u+v+w=0，其中 u=z 和 v=y，得到對稱形式

|P(u) P^'(u) 1; P(v) P^'(v) 1; P(w) P^'(w) 1|=0
(60)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 440）。為了明確獲得表示式，再次從

P^'(zeta)-AP(zeta)-B=0,
(61)

開始，其中 zeta=z,y,-z-y。

P^'^2(zeta)-[AP(zeta)+B]^2=0.
(62)

但是從 (◇) 可以得到 P^('2)(zeta)=4P^3(zeta)-g_2P(zeta)-g_3，所以

4P^3(zeta)-A^2P^2(zeta)-(2AB+g_2)P(zeta)-(B^2+g_3)=0.
(63)

解 P(zeta)=z 由下式給出

4z^3-A^2z^2-(2AB+g_2)z-(B^2+g_3)=0.
(64)

但是根的和等於平方項的係數 (coefficient)，所以

P(z)+P(y)+P(z+y)=1/4A^2
(65)
P^'(z)-P^'(y)=A[P(z)-P(y)]
(66)
A=(P^'(z)-P^'(y))/(P(z)-P(y))
(67)
P(z+y)=1/4[(P^'(z)-P^'(y))/(P(z)-P(y))]^2-P(z)-P(y)
(68)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 441）。

半週期恆等式包括

x=P(1/2omega_1)
(69)
=P(-homega_1+omega_1)
(70)
=e_1+((e_1-e_2)(e_1-e_3))/(P(-1/2omega_1)-e_1)
(71)
=e_1+((e_1-e_2)(e_1-e_3))/(x-e_1).
(72)

兩邊同乘，

x^2-e_1x=e_1x-e_1^2+(e_1-e_2)(e_1-e_3)
(73)
x^2-2e_1x+[e_1^2-(e_1-e_2)(e_1-e_3)]=0,
(74)

得到

P(1/2omega_1)=1/2{2e_1+/-sqrt(4e_1^2-4[e_1^2-(e_1-e_2)(e_1-e_3)])}
(75)
=e_1+/-sqrt((e_1-e_2)(e_1-e_3)).
(76)

來自 Whittaker 和 Watson (1990, p. 445)，

P^'(1/2omega_1)=-2sqrt((e_1-e_2)(e_1-e_3))(sqrt(e_1-e_2)+sqrt(e_1-e_3)).
(77)

該函式是齊次 (homogeneous)的，

P(lambdaz|lambdaomega_1,lambdaomega_2)=lambda^(-2)P(z|omega_1,omega_2)
(78)
P(lambdaz;lambda^(-4)g_2,lambda^(-6)g_3)=lambda^(-2)P(z;g_2,g_3).
(79)

為了反轉函式，當給定 P(z;g_2,g_3) 時，找到 2omega_1 和 2omega_2 的 P(z|omega_1,omega_2)。令 e_1、e_2 和 e_3 為根，使得 (e_1-e_2)/(e_1-e_3) 不是實數 (real number) >1 或 <0。從下式確定半週期比 (half-period ratio) tau，

(e_1-e_2)/(e_1-e_3)=(theta_4^4(0|tau))/(theta_3^4(0|tau)).
(80)

現在選擇

A=(sqrt(e_1-e_2))/(theta_4^2(0|tau)).
(81)

只要 g_2^3!=27g_3，週期就是

2omega_1=piA
(82)
2omega_2=(pitau)/A.
(83)

魏爾斯特拉斯橢圓函式可以用 雅可比橢圓函式 (Jacobi elliptic functions) 表示為

P(u;g_2,g_3)=e_3+(e_1-e_3)ns^2(usqrt(e_1-e_3),sqrt((e_2-e_3)/(e_1-e_3))),
(84)

其中

P(omega_1)=e_1
(85)
P(omega_2)=e_2
(86)
P(omega_3)=-P(-omega_1-omega_2)=e_3,
(87)

並且橢圓不變數 (elliptic invariants)是

g_2=60sum^'_(m,n)Omega_(mn)^(-4)
(88)
g_3=140sum^'_(m,n)Omega_(mn)^(-6).
(89)

這裡，Omega_(mn)=2momega_1-2nomega_2。

魏爾斯特拉斯橢圓函式的加法公式可以推導如下（Whittaker 和 Watson 1990, p. 444）。

P(z+omega_1)+P(z)+P(omega_1)=1/4[(P^'(z)-P^'(omega_1))/(P(z)-P(omega_1))]^2=1/4(P^'^2(z))/([P(z)-e_1]^2).
(90)

使用

P^('2)(z)=4product_(r=1)^3[P(z)-e_r],
(91)

所以

P(z+omega_1)=-P(z)-e_1+1/4(4product_(r=1)^(3)[P(z)-e_r])/([P(z)-e_1]^2)
(92)
=-P(z)-e_1+([P(z)-e_2][P(z)-e_3])/(P(z)-e_1).
(93)

使用 sum_(r=1)^(3)e_r=0,

P(z+omega_1)=e_1+([-2e_1-P(z)][P(z)-e_1])/(P(z)-e_1)+(P^2(z)-P(z)(e_2+e_3)+e_2e_3)/(P(z)-e_1)
(94)
=e_1+(-P(z)(e_1+e_2+e_3)+e_2e_3+2e_1^2)/(P(z)-e_1).
(95)

但是 sum_(r=1)^(3)e_r=0 且

2e_1^2+e_2e_3=e_1^2-e_1(e_2+e_3)+e_2e_3=(e_1-e_2)(e_1-e_3),
(96)

所以

P(z+omega_1)=e_1+((e_1-e_2)(e_1-e_3))/(P(z)-e_1).
(97)

魏爾斯特拉斯橢圓函式的週期如下給出。當 g_2 和 g_3 是實數 (real) 且 g_2^3-27g_3^2>0 時，則 e_1、e_2 和 e_3 是實數 (real)，並定義為 e_1>e_2>e_3。

omega_1=int_(e_1)^infty(4t^3-g_2t-g_3)^(-1/2)dt
(98)
omega_3=-iint_(-infty)^(e_3)(g_3+g_2t-4t^3)^(-1/2)dt
(99)
omega_2=-omega_1-omega_3.
(100)

魏爾斯特拉斯橢圓函式的根滿足

e_1=P(omega_1)
(101)
e_2=P(omega_2)
(102)
e_3=P(omega_3),
(103)

其中 omega_3=-omega_1-omega_2。e_i 是 4t^3-g_2t-g_3 的根 (roots)，並且是不相等的，因此 e_1!=e_2!=e_3。它們可以從以下關係式中找到

e_1+e_2+e_3=-a_2=0
(104)
e_2e_3+e_3e_1+e_1e_2=a_1=-1/4g_2
(105)
e_1e_2e_3=-a_0=1/4g_3.
(106)

另請參閱 (Lìng qǐng cān yuè)

橢圓曲線 (Elliptic Curve), 橢圓函式 (Elliptic Function), 艾森斯坦級數 (Eisenstein Series), 橢圓不變數 (Elliptic Invariants), 等調和情況 (Equianharmonic Case), 半週期 (Half-Period), 半週期比 (Half-Period Ratio), 雅可比橢圓函式 (Jacobi Elliptic Functions), 雙紐線情況 (Lemniscate Case), omega2 常數 (omega2 Constant), 偽雙紐線情況 (Pseudolemniscate Case), 魏爾斯特拉斯 Sigma 函式 (Weierstrass Sigma Function), 魏爾斯特拉斯 Zeta 函式 (Weierstrass Zeta Function)

相關 Wolfram 網站 (Xiāngguān Wolfram wǎngzhàn)

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassP/, http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassPPrime/, http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassHalfPeriods/, http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/InverseWeierstrassP/

使用 探索 (Shǐyòng tànsuǒ)

參考文獻 (Cānkǎo wénxiàn)

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "魏爾斯特拉斯橢圓和相關函式 (Wěi'ěr sī tè lā sī tuǒ yuán hé xiāngguān hánshù)." Ch. 18 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷 (Shùxué hánshù shǒucè, bāohán gōngshì, túbiǎo hé shùxué biǎogé, dì 9 cì yìnshuā). New York: Dover, pp. 627-671, 1972.Apostol, T. M. "魏爾斯特拉斯 P 函式 (Wěi'ěr sī tè lā sī P hánshù)," "原點附近的 P 的勞倫展開 (Yuándiǎn fùjìn de P de láolún zhǎnkāi)," "P 滿足的微分方程 (P mǎnzú de wēifēn fāngchéng)," "艾森斯坦級數和不變數 g_2 和 g_3 (Àisēn sī tǎn jíshù hé bù biànliàng g_2 hé g_3)," "數字 e_1, e_2, 和 e_3 (Shùzì e_1, e_2, hé e_3)," 和 "判別式 Delta (Pànbié shì Delta)." §1.6-1.11 in 數論中的模函式和狄利克雷級數，第 2 版 (Shùlùn zhōng de mó hánshù hé dílìkè léi jíshù, dì 2 bǎn). New York: Springer-Verlag, pp. 9-14, 1997.Brezhnev, Y. V. "均勻化：關於 Burnside 曲線 y^2=x^5-x (Jūnyúnhuà: Guānyú Burnside qūxiàn y^2=x^5-x)." 9 Dec 2001. http://arxiv.org/abs/math.CA/0111150.Eichler, M. 和 Zagier, D. "關於魏爾斯特拉斯 P 函式的零點 (Guānyú Wěi'ěr sī tè lā sī P hánshù de língdiǎn)." Math. Ann. 258, 399-407, 1982.Fischer, G. (Ed.). Plates 129-131 in 大學和博物館收藏中的數學模型，圖冊 (Dàxué hé bówùguǎn shōucáng zhōng de shùxué móxíng, túcè). Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 126-128, 1986.Huang, J. "調和格點和的積分表示 (Tiáohé gédiǎn hé de jīfēn biǎoshì)." J. Math. Phys. 40, 5240-5246, 1999.Rainville, E. D. 特殊函式 (Tèshū hánshù). New York: Chelsea, 1971.Tölke, F. "特殊魏爾斯特拉斯 P 函式 (Tèshū Wěi'ěr sī tè lā sī P hánshù)." Ch. 4 in 實用函數理論，第二卷：Theta 函式和特殊魏爾斯特拉斯函式 (Shíyòng hánshù lǐlùn, dì èr juàn: Theta hánshù hé tèshū wěi'ěr sī tè lā sī hánshù). Berlin: Springer-Verlag, pp. 115-244, 1966.Tölke, F. 實用函數理論，第五卷：一般魏爾斯特拉斯函式和引數的導數。Theta 函式和雙線性展開式的積分 (Shíyòng hánshù lǐlùn, dì wǔ juàn: Yībān wěi'ěr sī tè lā sī hánshù hé cānshù de dàoshù. Theta hánshù hé shuāngxiànxìng zhǎnkāi shì de jīfēn). Berlin: Springer-Verlag, 1968.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 現代分析教程，第 4 版 (Xiàndài fēnxī jiàochéng, dì 4 bǎn). Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Woods, F. S. "函式 p(u) (Hánshù p(u))." §160 in 高等微積分：為應用數學專業的學生的需求而安排的課程 (Gāoděng wēijīfēn: Wèi yìngyòng shùxué zhuānyè de xuésheng de xūqiú ér ānpái de kèchéng). Boston, MA: Ginn, pp. 381-382, 1926.

在 上被引用 (Zài shàng bèi yǐnyòng)

魏爾斯特拉斯橢圓函式 (Wěi'ěr sī tè lā sī tuǒ yuán hánshù)

請引用本文獻 (Qǐng yǐnyòng běn wénxiàn)

Weisstein, Eric W. "魏爾斯特拉斯橢圓函式 (Wěi'ěr sī tè lā sī tuǒ yuán hánshù)." 來自 --一個 Wolfram 網路資源 (Yīgè Wolfram wǎngluò zīyuán). https://mathworld.tw/WeierstrassEllipticFunction.html

主題分類 (Zhǔtí fēnlèi)