環面

一個（普通的）環面是 曲面，其 虧格 為 1，因此具有一個“洞”（左圖）。單孔“環狀”環面在較舊的文獻中被稱為“錨環”。它可以由一個 矩形 透過將相對邊的兩對粘合在一起且沒有扭曲而構成（右圖；Gardner 1971，第 15-17 頁；Gray 1997，第 323-324 頁）。嵌入三維空間的普通環面形狀像甜甜圈，但環面的概念在更高維空間中也非常有用。

一般來說，環面也可以有多個孔，術語 -環面用於具有 個孔的環面。2-環面的特殊情況有時稱為 雙環面，3-環面稱為 三環面，而通常的單孔環面則簡稱為“環面”或“一個環面”。

-環面的第二個定義與維度有關。在一維中，一條線彎曲成一個圓，得到 1-環面。在二維中，一個矩形包裹成一個普通的環面，也稱為 2-環面。在三維中，立方體包裹形成一個 3-流形，或 3-環面。在每種情況下，-環面都是存在於 維中的物件。 維環面更常見的用途之一是在 動力系統 中。一個基本結果表明，具有 個 自由度 並擁有 個 運動積分 的 哈密頓系統 的 相空間 軌跡位於一個 維 流形 上，該流形在拓撲上等價於一個 -環面 (Tabor 1989)。

普通（單孔）環面的 環面著色 需要 7 種顏色，這與 希伍德猜想 一致。

設從孔的中心到環面管中心的半徑為 ，管的半徑為 。那麼，關於 z 軸 方位對稱的環面的 笛卡爾座標 方程為

(1)

引數方程為

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對於 。根據 和 的相對大小，可能存在三種類型的環面，稱為 標準環面。 對應於 環狀環面（如上所示）， 對應於在點 (0, 0, 0) 處與自身相切的 角狀環面， 對應於自相交的 紡錘環面 (Pinkall 1986)。如果沒有特別說明，“環面”通常指 環狀環面。

環面曲面在 Wolfram 語言 中實現為環面[x, y, z, c-a, c+a]，實心環面為實心環面[x, y, z, c-a, c+a]。

下面展示了三種 標準環面，其中第一張影像顯示了完整的環面，第二張是底部一半的剖面圖，第三張是穿過 z 軸 的平面的 橫截面。

標準環面 及其反演是 環面族。如果 在 公式中的係數更改為 ，則會得到 橢圓環面。

要計算環狀環面的度量屬性，請定義內半徑和外半徑為

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求解 和 得到

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那麼這個環面的 表面積 是

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體積可以從 帕普斯質心定理 計算得出

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			(14)

體積也可以透過積分從實心的引數方程計算出的 雅可比行列式 得到，

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簡化為

(18)

得到

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如前。

質量為 的實心環面的慣性張量由下式給出

(21)

第一基本形式 的係數為

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			(24)

第二基本形式 的係數為

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			(27)

得到 黎曼度量

(28)

面積元素

(29)

（其中 是 楔積），高斯 曲率和 平均曲率 為

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			(31)

(Gray 1997，第 384-386 頁)。

表面有 孔 的環面可以翻轉過來，得到相同的環面。環面可以在外部或內部打結，但不能兩者都打結。這兩種情況是 環境同位素，但不是 正則同位素。因此，有三種可能的嵌入環面的方式，其中零個或一個 結。

環面上的任意點 （不在 -平面內）可以透過四個 圓。第一個圓在環面的平面內，第二個圓 垂直 於它。第三個和第四個 圓 稱為 維拉爾索圓 (Villarceau 1848, Schmidt 1950, Coxeter 1969, Melnick 1983)。