結

在數學中，結被定義為閉合、非自相交曲線，它嵌入在三維空間中，並且不能解開以產生一個簡單的環（即，單結）。雖然在通常用法中，結可以用繩子和粗繩打結，使得一根或多根繩股在結的任一側保持開放，但數學結理論將這種型別的物件稱為“辮子”而不是結。對於數學家來說，只有當一個物體的自由端以某種方式連線起來，使得最終的結構由單根環狀繩股組成時，它才是一個結。

結可以推廣到鏈環，它只是一個或多個閉合繩股的打結集合。

對結及其性質的研究被稱為結理論。結理論的最初動力來自於開爾文勳爵提出的原子是渦旋環的理論，不同的化學元素由不同的打結構型組成 (Thompson 1867)。P. G. Tait 隨後透過試錯法編目了可能的結。在過去的幾年裡，已經取得了很大的進展。

Schubert (1949) 表明，每個結都可以唯一地分解（直到執行分解的順序）為一類稱為素結的結的結和，素結本身不能進一步分解 (Livingston 1993, p. 5; Adams 1994, pp. 8-9)。可以這樣分解的結被稱為合成結。具有 , 1, ... 個交叉點的不同結（將映象視為等價）的總數（素結加合成結）是 1, 0, 0, 1, 1, 2, 5, 8, 25, ... (OEIS A086825)。

Klein 證明了結不可能存在於偶數維空間 中。此後，人們已經證明，結不可能存在於任何維度 中。兩個不同的結不可能具有相同的結補 (Gordon and Luecke 1989)，但是兩個鏈環可以！(Adams 1994, p. 261)。

結最常見的分類是基於存在的最小交叉點數（所謂的鏈環交叉數）。Thistlethwaite 使用了Dowker 符號來列舉多達 13 個交叉點的素結，以及多達 14 個交叉點的交錯結。在這個彙編中，映象被算作一種結型別。Hoste et al. (1998) 隨後製表了所有多達 16 個交叉點的素結。Hoste 和 Weeks 隨後開始編纂 17 個交叉點素結的列表 (Hoste et al. 1998)。

結的另一種可能的表示方法是使用辮群。具有 個交叉點的結是辮群 的成員。

沒有通用的演算法來確定一個纏結的曲線是否是一個結，或者兩個給定的結是否相互鎖定。Haken (1961) 和 Hemion (1979) 給出了嚴格確定兩個結是否等價的演算法，但即使在簡單的情況下，這些演算法也過於複雜而無法應用 (Hoste et al. 1998)。

Broden et al. (2024) 證明了所有結都可以嵌入到門格海綿中 (Barber 2024)，證明了每個椒鹽捲餅結都可以嵌入到 四聯骨牌中，並推測每個結都可以嵌入到四聯骨牌中。

下表給出了 到 16 的不同素結、交錯結、非交錯結、環面結和衛星結的數量 (Hoste et al. 1998)。

	素結	素交錯結	素非交錯結	環面結	衛星結
Sloane	A002863	A002864	A051763	A051764	A051765
3	1	1	0	1	0
4	1	1	0	0	0
5	2	2	0	1	0
6	3	3	0	0	0
7	7	7	0	1	0
8	21	18	3	1	0
9	49	41	8	1	0
10	165	123	42	1	0
11	552	367	185	1	0
12	2176	1288	888	0	0
13	9988	4878	5110	1	2
14	46972	19536	27436	1	2
15	253293	85263	168030	2	6
16	1388705	379799	1008906	1	10

手性非可逆 、 雙手性非可逆、 雙手性非可逆、手性可逆 和完全雙手性且可逆的結 的數量總結在下表中，適用於 到 16 (Hoste et al. 1998)。

Sloane	A051766	A051767	A051768	A051769	A052400
3	0	0	0	1	0
4	0	0	0	0	1
5	0	0	0	2	0
6	0	0	0	2	1
7	0	0	0	7	0
8	0	0	1	16	4
9	2	0	0	47	0
10	27	0	6	125	7
11	187	0	0	365	0
12	1103	1	40	1015	17
13	6919	0	0	3069	0
14	37885	6	227	8813	41
15	226580	0	1	26712	0
16	1308449	65	1361	78717	113

如果一個結是雙手性的，則“雙手性”為 ，否則為 (Jones 1987)。Arf 不變數被指定為 。辮字用 表示 (Jones 1987)。Conway 結符號 用於表示多達 10 個交叉點的結，由 Rolfsen (1976) 給出。雙曲體積由 (Adams et al. 1991; Adams 1994) 給出。辮指數 由 Jones (1987) 給出。Alexander 多項式 在 Rolfsen (1976) 中給出，但 10-083 和 10-086 的多項式被顛倒了 (Jones 1987)。Alexander 多項式根據 Conway 進行了歸一化，並以縮寫形式 給出，表示 。

多達 10 個交叉點的結的 Jones 多項式 由 Jones (1987) 給出，Jones 多項式 可以從這些多項式計算出來，也可以從 Adams (1994) 中獲取多達 9 個交叉點的結的 Jones 多項式（儘管在第一版印刷中，大多數多項式都與錯誤的結相關聯）。Jones 多項式可以以縮寫形式 列出，表示 ，並且對應於 Rolfsen 描繪的結或其映象，以 的較低冪為準。HOMFLY 多項式 和 Kauffman 多項式 F(a,x) 在 Lickorish 和 Millett (1988) 中給出，適用於多達 7 個交叉點的結。M. B. Thistlethwaite 製表了多達 13 個交叉點的結的 HOMFLY 多項式和 Kauffman 多項式 F。