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三葉結

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TrefoilKnot
TrefoilKnot3D

三葉結 3_1，也稱為三瓣結或反手結，是具有三個交叉的唯一素紐結。它是一個 (3, 2)-環面紐結，並具有辮字 sigma_1^3。正如 Dehn (1914) 首次證明的那樣，三葉結及其映象是不等價的。換句話說，三葉結不是兩手性的。然而，它是可逆的，並且具有Arf 不變數 1。

它的左手形式在 Wolfram 語言中實現，如上所示，為KnotData["Trefoil"].

M. C. 埃舍爾的木刻版畫“結”（Bool et al. 1982, pp. 128 和 325; Forty 2003, Plate 71）描繪了由不同型別的股線組成的三葉結。一項初步研究（Bool et al. 1982, p. 123）描繪了另一個三葉結。

A Moebius trefoil knot of gears

上面的動畫顯示了一系列沿著 莫比烏斯帶 三葉結排列的齒輪（M. Trott）。

括號多項式可以計算如下。

<L>=A^3d^(2-1)+A^2Bd^(1-1)+A^2Bd^(1-1)+AB^2d^(2-1)+A^2Bd^(1-1)+AB^2d^(2-1)+AB^2d^(2-1)+B^3d^(3-1)
(1)
=A^3d^1+3A^2Bd^0+3AB^2d^1+B^3d^2.
(2)

代入

B=A^(-1)
(3)
d=-A^2-A^(-2)
(4)

得到

<L>=A^(-7)-A^(-3)-A^5.
(5)

相應的 考夫曼多項式 X 隨後由下式給出

X_L=(-A^3)^(-w(L))<L>=(-A^3)^(-3)(A^(-7)-A^(-3)-A^5)
(6)
=A^(-4)+A^(-12)-A^(-16),
(7)

其中 扭數 w(L)=3 (Kauffman 1991, p. 35; Livingston 1993, p. 219)

亞歷山大多項式 Delta(x), BLM/Ho 多項式 Q(x), 康威多項式 del (x), HOMFLY 多項式 P(l,m), 瓊斯多項式 V(t), 和 考夫曼多項式 F F(a,z) 的三葉結是

Delta(x)=x-1+x^(-1)
(8)
Q(x)=2x^2+2x-3
(9)
del (x)=x^2+1
(10)
P(l,m)=-l^4+m^2l^2-2l^2
(11)
V(t)=t+t^3-t^4
(12)
F(a,z)=-a^4-2a^2+(a^4+a^2)z^2+(a^5+a^3)z.
(13)

這裡，V(t) 對應於右手三葉結。

在 10 個或更少交叉的紐結中，沒有其他紐結共享相同的 亞歷山大多項式、BLM/Ho 多項式 或 瓊斯多項式。

三葉結的紐結群是

<x,y|x^2=y^3>,
(14)

或等效地

<x,y|xyx=yxy>
(15)

（Rolfsen 1976，pp. 52 和 61）。

另請參閱

八字結, 老奶奶結, 紐結, 素紐結, 方結

使用 探索

參考文獻

Bar-Natan, D. "紐結 3_1。" http://www.math.toronto.edu/~drorbn/KAtlas/Knots/3.1.html。Bool, F. H.; Kist, J. R.; Locher, J. L.; 和 Wierda, F. M. C. 埃舍爾：他的一生和完整的圖形作品。 New York: Abrams, 1982.Claremont High School. "Trefoil_Knot Movie." 二進位制編碼 QuickTime 影片。 ftp://chs.cusd.claremont.edu/pub/knot/trefoil.cpt.bin。Crandall, R. E. 科學 Mathematica。 Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1993.Dehn, M. "Die beiden Kleeblattschlingen." Math. Ann. 75, 402-413, 1914.Escher, M. C. "結。" 紅色、綠色和棕色木刻版畫，從 3 個色塊印刷。1965. http://www.mcescher.com/Gallery/recogn-bmp/LW444.jpg。Forty, S. M.C. 埃舍爾。 Cobham, England: TAJ Books, 2003.Kauffman, L. H. 紐結與物理學。 Singapore: World Scientific, pp. 8 和 29-35, 1991.KnotPlot. "3_1。" http://newweb.cecm.sfu.ca/cgi-bin/KnotPlot/KnotServer/kserver?ncomp=1&ncross=3&id=1。Livingston, C. 紐結理論。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1993.Nordstrand, T. "Threefoil Knot." http://jalape.no/math/tknottxt。Pappas, T. "三葉結。" 數學的樂趣。 San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 96, 1989.Rolfsen, D. 紐結與鏈環。 Wilmington, DE: Publish or Perish Press, pp. 51 和 60, 1976.Steinhaus, H. 數學快照，第 3 版。 New York: Dover, p. 265, 1999.

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "三葉結。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/TrefoilKnot.html

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