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瓊斯多項式

第二個被發現的紐結多項式。與第一個被發現的亞歷山大多項式不同，瓊斯多項式有時可以區分手性（其更強大的推廣，HOMFLY 多項式也可以）。瓊斯多項式是以 t 為變數的勞倫多項式，被賦予給 R^3 紐結。瓊斯多項式對於鏈環表示為 V_L(t)，對於紐結表示為 V_K(t)，並被歸一化使得

V_(unknot)(t)=1.
(1)

例如，右手和左手三葉結的多項式分別為

V_(trefoil)(t)=t+t^3-t^4
(2)
V_(trefoil^*)(t)=t^(-1)+t^(-3)-t^(-4),
(3)

分別如下。

如果一個鏈環有奇數個分支，那麼 V_L 是整數上的勞倫多項式；如果分支數是偶數，那麼 V_L(t) 是 t^(1/2) 乘以一個勞倫多項式。紐結和 L_1#L_2 的瓊斯多項式滿足

V_(L_1#L_2)=(V_(L_1))(V_(L_2)).
(4)
Skein

下交叉和上交叉的骨架關係是

t^(-1)V_(L_+)-tV_(L_-)=(t^(1/2)-t^(-1/2))V_(L_0).
(5)

結合鏈環和的關係，這使得瓊斯多項式可以從簡單的紐結和鏈環構建到更復雜的。

以下是瓊斯 (1985) 提出的一些有趣的恆等式。對於任何鏈環 L，

V_L(-1)=Delta_L(-1),
(6)

其中 Delta_L 是亞歷山大多項式，並且

V_L(1)=(-2)^(p-1),
(7)

其中 p 是 L 的分支數。 對於任何紐結 K，

V_K(e^(2pii/3))=1
(8)

並且

d/(dt)V_K(1)=0.
(9)

令 K^* 表示紐結 K 的映象。那麼

V_(K^*)(t)=V_K(t^(-1)).
(10)

瓊斯定義了一個簡化的紐結跡不變數為

W_K(t)=(1-V_K(t))/((1-t^3)(1-t)).
(11)

W_K 的 Arf 不變數由下式給出

Arf(K)=W_K(i)
(12)

（瓊斯 1985），其中 i 是 sqrt(-1)。瓊斯 (1985) 給出了交叉數不超過 8 的紐結的 W 多項式表，瓊斯 (1987) 給出了交叉數不超過 10 的紐結的表。（請注意，在這些論文中，瓊斯稱之為 V 的另一個多項式也被製成表格，但它不是傳統定義的瓊斯多項式。）

瓊斯多項式隨後被推廣到雙變數 HOMFLY 多項式，關係為

V(t)=P(a=t,x=t^(1/2)-t^(-1/2))
(13)
V(t)=P(l=it,m=i(t^(-1/2)-t^(1/2))).
(14)

它們透過以下方式與考夫曼多項式 F 相關

V(t)=F(-t^(-3/4),t^(-1/4)+t^(1/4)).
(15)

瓊斯 (1987) 給出了交叉數不超過 10 的紐結的辮字和 W 多項式表。亞當斯 (1994) 給出了交叉數不超過 9 的紐結的瓊斯多項式，Doll 和 Hoste (1991) 給出了交叉數不超過 9 的有向鏈環的瓊斯多項式。所有交叉數小於等於 9 的素紐結都具有不同的瓊斯多項式。然而，存在不同的紐結（甚至交叉數不同的紐結）具有相同的瓊斯多項式。例如，包括 (05-001, 10-132), (08-008, 10-129), (08-016, 10-156), (10-025, 10-056), (10-022, 10-035), (10-041, 10-094), (10-043, 10-091), (10-059, 10-106), (10-060, 10-083), (10-071, 10-104), (10-073, 10-086), (10-081, 10-109) 和 (10-137, 10-155) (瓊斯 1987)。（順便說一句，前四個也具有相同的 HOMFLY 多項式。）

尚不清楚是否存在瓊斯多項式為 1 的非平凡紐結。

(m,n)-環面紐結的瓊斯多項式是

V(t)=(t^((m-1)(n-1)/2)(1-t^(m+1)-t^(n+1)+t^(m+n)))/(1-t^2).
(16)

令 k 為有向鏈環 L 的一個分支。現在透過反轉 L^* 的方向形成一個新的有向鏈環 k。

V_(L^*)=t^(-3lambda)V(L),
(17)

其中 V 是瓊斯多項式，lambda 是 k 和 L-k 的環繞數。 對於 HOMFLY 多項式，尚不清楚有類似的結果（Lickorish 和 Millett 1988）。

Birman 和 Lin (1993) 表明，將 e^x 的冪級數代入瓊斯多項式作為變數會得到一個冪級數，其係數是 Vassiliev 不變數。

令 L 為 n 個交叉點的有向連通鏈環投影，那麼

n>=span V(L),
(18)

如果 L 是交錯的且沒有可約交叉點，則等號成立（Lickorish 和 Millett 1988）。

Witten (1989) 從拓撲量子場論的角度給出了啟發式定義，Sawin (1996) 表明“量子群” U_q(sl_2) 產生了瓊斯多項式。

另請參閱

亞歷山大多項式, HOMFLY 多項式, 考夫曼多項式 F, 紐結, 鏈環, Vassiliev 不變數

使用 探索

參考文獻

Adams, C. C. 紐結之書：紐結數學理論的初等介紹。 New York: W. H. Freeman, 1994.Birman, J. S. and Lin, X.-S. "紐結多項式和 Vassiliev 不變數。" Invent. Math. 111, 225-270, 1993.Doll, H. and Hoste, J. "有向鏈環的製表。" Math. Comput. 57, 747-761, 1991.El-Misiery, A. "計算瓊斯多項式的演算法。" Appl. Math. Comput. 74, 249-259, 1996.Jones, V. "透過馮·諾依曼代數獲得的紐結多項式不變數。" Bull. Am. Math. Soc. 12, 103-111, 1985.Jones, V. "辮群和鏈環多項式的 Hecke 代數表示。" Ann. Math. 126, 335-388, 1987.Khovanov, M. "瓊斯多項式的範疇化。" 30 Aug 1999. http://arxiv.org/abs/math.QA/9908171.Khovanov, M. "瓊斯多項式的範疇化。" Duke Math. J. 101, 359-426, 2000.Lickorish, W. B. R. and Millett, B. R. "紐結和鏈環的新多項式不變數。" Math. Mag. 61, 1-23, 1988.Murasugi, K. "瓊斯多項式和紐結理論中的經典猜想。" Topology 26, 297-307, 1987.Murasugi, K. and Kurpita, B. I. 辮子的研究。 Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1999.Praslov, V. V. and Sossinsky, A. B. 紐結、鏈環、辮子和 3-流形：低維拓撲中新不變數的介紹。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1996.Sawin, S. "鏈環、量子群和 TQFT。" Bull. Amer. Math. Soc. 33, 413-445, 1996.Stoimenow, A. "瓊斯多項式。" http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~stoimeno/ptab/j10.html.Thistlethwaite, M. "瓊斯多項式的生成樹展開。" Topology 26, 297-309, 1987.Witten, E. "量子場論和瓊斯多項式。" Comm. Math. Phys. 121, 351-399, 1989 http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.cmp/1104178138.

在 中引用

瓊斯多項式

請引用為

Weisstein, Eric W. "瓊斯多項式。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/JonesPolynomial.html

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