主題
Search

HOMFLY 多項式

下載 Mathematica 筆記本下載 Wolfram 筆記本

一個雙變數有向紐結多項式 P_L(a,z)，其動機來自 瓊斯多項式 (Freyd et al. 1985)。它的名稱是其共同發現者的姓氏的首字母縮寫：Hoste、Ocneanu、Millett、Freyd、Lickorish 和 Yetter (Freyd et al. 1985)。Prztycki 和 Traczyk (1987) 也進行了與 HOMFLY 多項式相關的獨立工作。HOMFLY 多項式由繩結關係定義

a^(-1)P_(L_+)(a,z)-aP_(L_-)(a,z)=zP_(L_0)(a,z)
(1)

(Doll 和 Hoste 1991)，其中 v 有時寫成 a (Kanenobu 和 Sumi 1993)，或者關係略有不同，如

alphaP_(L_+)(alpha,z)-alpha^(-1)P_(L_-)(alpha,z)=zP_(L_0)(alpha,z)
(2)

(Kauffman 1991)。它也被定義為 P_L(l,m)，根據繩結關係

lP_(L_+)+l^(-1)P_(L_-)+mP_(L_0)=0
(3)

(Lickorish 和 Millett 1988)。它可以被視為兩個變數的非齊次多項式或三個變數的齊次多項式。在三個變數中，繩結關係寫成

xP_(L_+)(x,y,z)+yP_(L_-)(x,y,z)+zP_(L_0)(x,y,z)=0.
(4)

它被歸一化，使得 P_(unknot)=1。此外，對於 n 個未連線的無結元件，

P_L(x,y,z)=(-(x+y)/z)^(n-1).
(5)

這個多項式通常檢測手性，但不能檢測紐結 09-042、10-048、10-071、10-091、10-104 和 10-125 的不同對映異構體 (Jones 1987)。如果方向反轉，有向紐結的 HOMFLY 多項式是相同的。它是瓊斯多項式 V(t) 的推廣，滿足

V(t)=P(a=t,z=t^(1/2)-t^(-1/2))
(6)
V(t)=P(l=it^(-1),m=i(t^(-1/2)-t^(1/2))).
(7)

它也是亞歷山大 (Alexander) 多項式 del (z) 的推廣，滿足

Delta(z)=P(a=1,z=t^(1/2)-t^(-1/2)).
(8)

一個紐結 K 的映象 K^* 的 HOMFLY 多項式 由下式給出

P_(K^*)(l,m)=P_K(l^(-1),m),
(9)

因此 P 通常但不總是檢測手性。

兩個鏈環的分裂並集（即，將兩個鏈環放在一起而不使它們纏繞）具有 HOMFLY 多項式

P(L_1 union L_2)=-(l+l^(-1))m^(-1)P(L_1)P(L_2).
(10)

此外，兩個鏈環的組合

P(L_1#L_2)=P(L_1)P(L_2),
(11)

因此，多項式 的 複合紐結 分解為其組成紐結的多項式 (Adams 1994)。

突變體 具有相同的 HOMFLY 多項式。事實上，有無數個不同的紐結具有相同的 HOMFLY 多項式 (Kanenobu 1986)。例如包括 (05-001, 10-132)、(08-008, 10-129) (08-016, 10-156) 和 (10-025, 10-056) (Jones 1987)。 順便說一句，這些也具有相同的 瓊斯多項式。

M. B. Thistlethwaite 已經制表了高達 13 個交叉點的紐結的 HOMFLY 多項式。

另請參閱

亞歷山大 (Alexander) 多項式, 瓊斯多項式, 紐結多項式

使用 探索

參考文獻

Adams, C. C. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. New York: W. H. Freeman, pp. 171-172, 1994.Doll, H. and Hoste, J. "A Tabulation of Oriented Links." Math. Comput. 57, 747-761, 1991.Freyd, P.; Yetter, D.; Hoste, J.; Lickorish, W. B. R.; Millett, K.; and Oceanu, A. "A New Polynomial Invariant of Knots and Links." Bull. Amer. Math. Soc. 12, 239-246, 1985.Jones, V. "Hecke Algebra Representations of Braid Groups and Link Polynomials." Ann. Math. 126, 335-388, 1987.Kanenobu, T. "Infinitely Many Knots with the Same Polynomial." Proc. Amer. Math. Soc. 97, 158-161, 1986.Kanenobu, T. and Sumi, T. "Polynomial Invariants of 2-Bridge Knots through 22 Crossings." Math. Comput. 60, 771-778 and S17-S28, 1993.Kauffman, L. H. Knots and Physics. Singapore: World Scientific, p. 52, 1991.Lickorish, W. B. R. and Millett, B. R. "The New Polynomial Invariants of Knots and Links." Math. Mag. 61, 1-23, 1988.Livingston, C. Knot Theory. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 213-217, 1993.Morton, H. R. and Short, H. B. "Calculating the 2-Variable Polynomial for Knots Presented as Closed Braids." J. Algorithms 11, 117-131, 1990.Przytycki, J. and Traczyk, P. "Conway Algebras and Skein Equivalence of Links." Proc. Amer. Math. Soc. 100, 744-748, 1987.Stoimenow, A. "Jones Polynomials." http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~stoimeno/ptab/j10.html.

在 中被引用

HOMFLY 多項式

引用為

Weisstein, Eric W. “HOMFLY 多項式。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HOMFLYPolynomial.html

主題分類