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亞歷山大多項式

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亞歷山大多項式是 J. W. Alexander (Alexander 1928) 於 1923 年發現的紐結不變數。在 Jones 多項式 於 1984 年被發現之前，亞歷山大多項式一直是唯一已知的紐結多項式。與亞歷山大多項式不同，更強大的 Jones 多項式在大多數情況下確實可以區分手性。

用術語來說，亞歷山大多項式源於紐結補集的無限迴圈覆蓋的同調。 亞歷山大理想的任何主理想的生成元都稱為亞歷山大多項式 (Rolfsen 1976)。由於溫順紐結在 S^3 中的亞歷山大不變數具有表示矩陣的方陣，因此其亞歷山大理想是主理想，並且它具有表示為 Delta(t) 的亞歷山大多項式。

令 Psi 為紐結的辮字的矩陣乘積，則

(det(I-Psi))/(1+t+...+t^(n-1))=Delta_L,
(1)

其中 Delta_L 是亞歷山大多項式，det 是行列式。 S^3 中溫順紐結的亞歷山大多項式滿足

Delta(t)=det(V^(T)-tV),
(2)

其中 V 是 Seifert 矩陣，det 是行列式，V^(T) 表示轉置。

亞歷山大多項式在 t 和 t^(-1) 中是對稱的，並且滿足

Delta(1)=+/-1,
(3)

其中約定決定了符號。在這項工作中，使用約定 Delta(1)=+1。數量 |Delta(-1)| 被稱為紐結行列式。

記號 [a+b+c+... 是紐結的亞歷山大多項式的縮寫

a+b(x+x^(-1))+c(x^2+x^(-2))+....
(4)

對於鏈環，記號也可以擴充套件，在這種情況下，使用一個或多個矩陣來生成相應的多元亞歷山大多項式 (Rolfsen 1976, p. 389)。

Skein

令變數 x 中鏈環 L 的亞歷山大多項式表示為 Delta_L(x)。然後存在 J. H. Conway 發現的骨架關係，

Delta_(L_+)(x)-Delta_(L_-)(x)+(x^(-1/2)-x^(1/2))Delta_(L_0)(x)=0,
(5)

對應於上述鏈環圖 (Adams 1994)。這種關係允許透過將任意紐結構建為一系列上交叉和下交叉來構造亞歷山大多項式。

可分鏈環的亞歷山大多項式始終為 0。

令人驚訝的是，已知存在亞歷山大多項式為 1 的非平凡紐結的示例，儘管在 10 個或更少交叉的紐結中沒有出現此類示例。一個例子是 (-3,5,7)-椒鹽捲餅結 (Adams 1994, p. 167)。 Rolfsen (1976, p. 167) 給出了其他四個這樣的例子。

J. H. Conway 提出了亞歷山大多項式的修改版本。它被各種稱為Conway 多項式 (Livingston 1993, pp. 207-215) 或 Conway-亞歷山大多項式，並表示為 del _L(x)。它是亞歷山大多項式的重新引數化，由下式給出

Delta_L(x^2)=del _L(x-x^(-1)).
(6)

用於Conway 多項式的骨架關係約定是

del _(L_+)(x)-del _(L_-)(x)=xdel _(L_0)(x)
(7)

(Doll 和 Hoste 1991)。

下表給出了常見紐結的亞歷山大 Delta 和 Conway del 多項式的示例

紐結 KDelta_K(x)del _K(x)
三葉結x^(-1)-1+xx^2+1
八字結-x^(-1)+3-x1-x^2
所羅門封印結x^(-2)-x^(-1)+1-x+x^2x^4+3x^2+1
碼頭工人結-2x^(-1)+5-2x1-2x^2
米勒研究所結-x^(-2)+3x^(-1)-3+3x-x^2-x^4-x^2+1

對於紐結，

Delta_K(-1)={1 (mod 8) if Arf(K)=0; 5 (mod 8) if Arf(K)=1,
(8)

其中 Arf 是 Arf 不變數 (Jones 1985)。

HOMFLY 多項式 P(a,z) 推廣了亞歷山大多項式（以及 Jones 多項式），其中

del (z)=P(1,z)
(9)

(Doll 和 Hoste 1991)。

Rolfsen (1976) 給出了交叉數最多為 10 的紐結和交叉數最多為 9 的鏈環的亞歷山大多項式 Delta（以縮寫記號表示）的表格。 Livingston (1993) 給出了交叉數最多為 9 的紐結的亞歷山大多項式的明確表格（負冪已清除，初始負號）。

另請參見

辮群, Conway 多項式, Jones 多項式, 紐結, 紐結行列式, 鏈環, 鏈環交叉數, 骨架關係

使用 探索

參考文獻

Adams, C. C. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. New York: W. H. Freeman, pp. 165-169, 1994.Alexander, J. W. "Topological Invariants of Knots and Links." Trans. Amer. Math. Soc. 30, 275-306, 1928.Alexander, J. W. "A Lemma on a System of Knotted Curves." Proc. Nat. Acad. Sci. USA 9, 93-95, 1923.Bar-Natan, D. "The Rolfsen Knot Table." http://www.math.toronto.edu/~drorbn/KAtlas/Knots/.Casti, J. L. "The Alexander Polynomial." Ch. 1 in Five More Golden Rules: Knots, Codes, Chaos, and Other Great Theories of 20th-Century Mathematics. New York: Wiley, pp. 1-34, 2000.Doll, H. and Hoste, J. "A Tabulation of Oriented Links." Math. Comput. 57, 747-761, 1991.Jones, V. "A Polynomial Invariant for Knots via von Neumann Algebras." Bull. Amer. Math. Soc. 12, 103-111, 1985.Livingston, C. "Alexander Polynomials." Appendix 2 in Knot Theory. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 229-232, 1993.Murasugi, K. and Kurpita, B. I. A Study of Braids. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1999.Rolfsen, D. "Table of Knots and Links." Appendix C in Knots and Links. Wilmington, DE: Publish or Perish Press, pp. 280-287, 1976.Stoimenow, A. "Alexander Polynomials." http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~stoimeno/ptab/a10.html.Stoimenow, A. "Conway Polynomials." http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~stoimeno/ptab/c10.html.

在 中被引用

亞歷山大多項式

引用為

Weisstein, Eric W. "亞歷山大多項式。" 來自 —— Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/AlexanderPolynomial.html

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