同調

同調是代數和拓撲學的許多分支中使用的概念。歷史上，“同調”一詞最初由龐加萊在拓撲意義上使用。對他來說，它的意思基本上就是現在所說的配邊，意思是同調被認為是對映到流形中的流形之間的關係。當這些流形在所討論的流形內部形成高維流形的邊界時，它們就形成了同調。

為了簡化同調的定義，龐加萊簡化了他處理的空間。他假設他處理的所有空間都具有三角剖分（即，它們是“單純復形”）。然後，他沒有談論這些空間中的一般“物件”，而是將自己限制為子復形，即空間中僅由空間三角剖分中的單純形組成的物件。最終，龐加萊版本的同調被摒棄，並被更一般的奇異同調所取代。奇異同調是數學家所說的“同調”的概念。

然而，在現代用法中，“同調”一詞用來表示同調群。例如，如果有人說“透過計算的同調來”，他們的意思是“透過計算的同調群來”。但有時，同調在“空間中的同調”的語境中被更寬鬆地使用，這對應於奇異同調群。

同調的一個例子是中區域的一次整同調。在這種情況下，同調類由閉環的有限和或差表示。例如，考慮上圖所示的二次穿孔平面中的環。

等式在同調中成立，因為差是緊支撐區域的同調邊界。空間的同調是一個反映拓撲結構的代數物件。使用的代數工具稱為同調代數，在該語言中，同調是匯出函子，是長正合序列的同調。

一個空間的奇異同調群衡量該空間中存在有限（緊）無邊界物件的程度，使得這些物件不是該空間中其他有限（緊）物件的邊界。

廣義同調或上同調理論必須滿足Eilenberg-Steenrod 公理的所有條件，但維度公理除外。