同調相交

當兩個閉鏈在一個橫截相交 的光滑流形 上時，那麼 也是一個閉鏈。此外， 代表的同調類僅取決於 和 的同調類。 的符號由 、 和 上的定向決定。

例如，兩條曲線可以在曲面上相交於一點，因為

曲線可以變形，使得它們相交三次，但其中兩個交點之和為零，因為兩個交點是正相交，一個交點是負相交，即曲線的流形定向與周圍空間的相反定向。

在上面圖示的環面上，閉鏈相交於一點。

相交的二元運算使流形上的同調成為一個環。也就是說，它扮演著乘法的角色，這尊重分級。當 和 時，那麼 。事實上，相交是對偶於龐加萊對偶中的杯積。也就是說，如果 是 的龐加萊對偶，並且 是 的對偶，那麼 是 的對偶。

如果沒有橫截相交的概念，那麼相交在同調中沒有明確定義。在更一般的空間上，即使是具有奇點的流形，同調也沒有自然的環結構。