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環

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在數學意義上，環是一個集合 S 以及兩個二元運算子 + 和 * （通常分別解釋為加法和乘法），滿足以下條件

1. 加法結合律：對於所有 a,b,c in S， (a+b)+c=a+(b+c)，

2. 加法交換律：對於所有 a,b in S， a+b=b+a，

3. 加法單位元：存在一個元素 0 in S 使得對於所有 a in S， 0+a=a+0=a，

4. 加法逆元：對於每個 a in S 存在 -a in S 使得 a+(-a)=(-a)+a=0，

5. 左分配律和右分配律：對於所有 a,b,c in S， a*(b+c)=(a*b)+(a*c) 和 (b+c)*a=(b*a)+(c*a)，

6. 乘法結合律：對於所有 a,b,c in S， (a*b)*c=a*(b*c) （滿足此性質的環有時明確地稱為結合環）。

條件 1-5 始終是必需的。儘管存在非結合環，但幾乎所有文字也要求條件 6（Itô 1986, pp. 1369-1372; p. 418; Zwillinger 1995, pp. 141-143; Harris and Stocker 1998; Knuth 1998; Korn and Korn 2000; Bronshtein and Semendyayev 2004）。

環也可能滿足各種可選條件

7. 乘法交換律：對於所有 a,b in S， a*b=b*a （滿足此性質的環稱為交換環）。

8. 乘法單位元：存在一個元素 1 in S 使得對於所有 a!=0 in S， 1*a=a*1=a （滿足此性質的環稱為單位環，或有時稱為“帶單位元的環”）。

9. 乘法逆元：對於每個 a!=0 在 S 中，存在一個元素 a^(-1) in S 使得對於所有 a!=0 in S， a*a^(-1)=a^(-1)*a=1，其中 1 是單位元。

滿足所有附加屬性 6-9 的環稱為域，而僅滿足附加屬性 6、8 和 9 的環稱為除法代數（或斜域）。

一些作者偏離了通常的約定，並（根據他們的定義）要求環包括附加屬性。例如，Birkhoff 和 Mac Lane (1996) 將環定義為具有乘法單位元（即屬性 8）。

以下是一些缺少特定條件的環的示例

1. 沒有乘法結合律（有時也稱為非結合代數）：八元數，OEIS A037292，

2. 沒有乘法交換律：實值2×2 矩陣，四元數，

3. 沒有乘法單位元：偶數值整數，

4. 沒有乘法逆元：整數。

單詞 ring 是德語單詞“Zahlring”（數環）的縮寫。法語中環的單詞是 anneau，現代德語單詞是 Ring，兩者都（毫不奇怪地）意思是“環”。Fraenkel (1914) 給出了環的第一個抽象定義，儘管這項工作沒有產生太大影響。Hilbert 引入了這個術語來描述像這樣的環

Z[RadicalBox[2, 3]]={a+bRadicalBox[2, 3]+cRadicalBox[4, 3] such that a,b,c in Z}.

透過連續乘以新元素 RadicalBox[2, 3]，它最終迴圈回到已生成的內容，類似於環，也就是說， (RadicalBox[2, 3])^2=RadicalBox[4, 3] 是新的，但 (RadicalBox[2, 3])^3=2 是整數。所有代數數都具有此屬性，例如， eta=sqrt(2)+sqrt(3) 滿足 eta^4=10eta^2-1。

環必須包含至少一個元素，但不必包含乘法單位元或為交換環。對於 n = 1、2、...，具有 n 個元素的有限環的數量分別為 1、2、2、11、2、4、2、52、11、4、2、22、2、4、4、... (OEIS A027623 和 A037234; Fletcher 1980)。如果 p 和 q 是素數，則大小為 p 的環有兩個，大小為 pq 的環有四個，大小為 p^2 的環有 11 個（Singmaster 1964, Dresden），大小為 p^2q 的環有 22 個，大小為 p^3 的環有 52 個（對於 p=2 ），大小為 p^3 的環有 53 個（對於 p>2 ）（Ballieu 1947, Gilmer and Mott 1973; Dresden）。

在乘法下交換、具有單位元且沒有零因子的環稱為整環。非零元素形成交換乘法群的環稱為域。最簡單的環是整數 Z ，多項式 R[x] 和 R[x,y] （在一個和兩個變數中），以及方陣 n×n 實矩陣。

已經研究並發現有趣的環通常以其一個或多個研究者的名字命名。不幸的是，這種做法導致名稱幾乎無法深入瞭解相關環的屬性。

Renteln 和 Dundes (2005) 給出了以下關於環的（糟糕的）數學笑話

問：什麼是加法下的阿貝爾群，封閉的、結合的、分配的，並且帶有詛咒？答：尼伯龍根的指環。

另請參閱

阿貝爾群, 阿廷環, 周環, 戴德金環, 除法代數, 自同態環, 域, Gorenstein 環, 群, 群環, 理想, 整環, 模, 冪零元素, 諾特環, 非交換環, 數域, 素環, Prüfer 環, 商環, 正則環, 整數環, 環群胚, 半素環, 半環, 半單環, 單環, 平凡環, 單位環, 零因子 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

Allenby, R. B. Rings, Fields, and Groups: An Introduction to Abstract Algebra, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1991.Ballieu, R. "Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif." Ann. Soc. Sci. Bruxelles. Sér. I 61, 222-227, 1947.Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Berrick, A. J. and Keating, M. E. An Introduction to Rings and Modules with K-Theory in View. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2000.Birkhoff, G. and Mac Lane, S. A Survey of Modern Algebra, 5th ed. New York: Macmillian, 1996.Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A.; Musiol, G.; and Muehlig, H. Handbook of Mathematics, 4th ed. New York: Springer-Verlag, 2004.Dresden, G. "Small Rings." http://home.wlu.edu/~dresdeng/smallrings/.Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.Fine, B. "Classification of Finite Rings of Order p^2." Math. Mag. 66, 248-252, 1993.Fletcher, C. R. "Rings of Small Order." Math. Gaz. 64, 9-22, 1980.Fraenkel, A. "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen." J. reine angew. Math. 145, 139-176, 1914.Gilmer, R. and Mott, J. "Associative Rings of Order p^3." Proc. Japan Acad. 49, 795-799, 1973.Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, 1998.Itô, K. (Ed.). "Rings." §368 in Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol. 2. Cambridge, MA: MIT Press, 1986.Kleiner, I. "The Genesis of the Abstract Ring Concept." Amer. Math. Monthly 103, 417-424, 1996.Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1998.Korn, G. A. and Korn, T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: Dover, 2000.Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19-21, 1951.Renteln, P. and Dundes, A. "Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor." Notices Amer. Math. Soc. 52, 24-34, 2005.Singmaster, D. and Bloom, D. M. "Problem E1648." Amer. Math. Monthly 71, 918-920, 1964.Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."van der Waerden, B. L. A History of Algebra. New York: Springer-Verlag, 1985.Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1168, 2002.Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141-143, 1995.

在 上被引用

環

請這樣引用

Weisstein, Eric W. “環。”來自 網路資源。 https://mathworld.tw/Ring.html

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