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阿貝爾群

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阿貝爾群是一個 群，其元素滿足 交換律（即，AB=BA 對於所有元素 A 和 B）。 因此，阿貝爾群對應於具有 對稱 乘法表的群。

所有 迴圈群 都是阿貝爾群，但阿貝爾群不一定是 迴圈群。 阿貝爾群的所有 子群 都是 正規 的。 在阿貝爾群中，每個元素都在其自身的 共軛類 中，並且 特徵標表 涉及稱為 群生成元 的單個元素的 冪。

在 Wolfram 語言 中，函式AbelianGroup[{n1, n2, ...}] 表示階數為 n_1, n_2, ... 的迴圈群的直積。

對於給定 群的階，沒有已知的通用公式可以給出非同構 有限群 的數量。 然而，任何給定 群的階 n 的非同構阿貝爾 有限群 a(n) 的數量由將 n 寫成

n=product_(i)p_i^(alpha_i),
(1)

其中 p_i 是不同的 素因子，然後

a(n)=product_(i)P(alpha_i),
(2)

其中 P(k) 是 分拆函式，在 Wolfram 語言 中實現為FiniteAbelianGroupCount[n]。 a(n) 對於 n=1, 2, ... 的值為 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, ... (OEIS A000688)。

存在 n=1, 2, 3, ... 個非同構阿貝爾群的最小階數是 1, 4, 8, 36, 16, 72, 32, 900, 216, 144, 64, 1800, 0, 288, 128, ... (OEIS A046056)，其中 0 表示不可能的數字（即，不是分拆數的乘積）的非同構阿貝爾群。 “缺失”的值是 13, 17, 19, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 43, 46, ... (OEIS A046064)。 阿貝爾群的最大數量作為階數的函式是 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, ... (OEIS A046054)，這些數量出現在階數 1, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, ... (OEIS A046055) 時。

克羅內克分解定理 指出，每個 有限 阿貝爾群都可以寫成 迴圈群 的 群直積，迴圈群的 群的階 是 素數 冪。 如果 有限群 的 群的階 是 素數 p，則存在一個階數為 p 的阿貝爾群（表示為 Z_p），並且沒有非阿貝爾群。 如果 群的階 是素數的平方 p^2，則存在兩個阿貝爾群（表示為 Z_(p^2) 和 Z_p×Z_p）。 如果 群的階 是素數的立方 p^3，則存在三個阿貝爾群（表示為 Z_p×Z_p×Z_p, Z_p×Z_(p^2), 和 Z_(p^3)），總共有五個群。 如果階數是兩個素數 p 和 q 的 積，則 恰好存在一個 群的階 為 pq 的阿貝爾群（表示為 Z_p×Z_q）。

另一個有趣的結果是，如果 a(n) 表示 群的階 為 n 的非同構阿貝爾群的數量，則

sum_(n=1)^inftya(n)n^(-s)=zeta(s)zeta(2s)zeta(3s)...,
(3)

其中 zeta(s) 是 黎曼zeta函式。

階數 <=n 的阿貝爾群的數量由 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 25, ... (OEIS A063966) 給出，對於 n=1, 2, .... Srinivasan (1973) 也表明

sum_(n=1)^Na(n)=A_1N+A_2N^(1/2)+A_3N^(1/3)+O[N^(105/407)(lnN)^2],
(4)

其中

A_k=product_(j=1; j!=k)^(infty)zeta(j/k)
(5)
={2.294856591... for k=1; -14.6475663... for k=2; 118.6924619... for k=3,
(6)

(OEIS A021002, A084892, 和 A084893) 並且 zeta(s) 再次是 黎曼zeta函式。 請注意，Richert (1952) 錯誤地給出了 A_3=114。 總和 A_k 也可以寫成顯式形式

A_1=product_(j=2)^(infty)zeta(j)
(7)
A_2=zeta(1/2)product_(j=3)^(infty)zeta(1/2j)
(8)
A_3=zeta(1/3)zeta(2/3)product_(j=4)^(infty)zeta(1/3j).
(9)

DeKoninck 和 Ivic (1980) 表明

sum_(n=1)^N1/(a(n))=BN+O[sqrt(N)(lnN)^(-1/2)],
(10)

其中

B=product_(p){1-sum_(k=2)^(infty)[1/(P(k-1))-1/(P(k))]1/(p^k)}
(11)
=0.752...
(12)

(OEIS A084911) 是 素數 p 的乘積，並且 P(n) 再次是 分拆函式。

非同構非阿貝爾群的數量的界限由 Neumann (1969) 和 Pyber (1993) 給出。

有許多涉及阿貝爾群的數學笑話 (Renteln 和 Dundes 2005)

問：什麼是紫色的並且滿足交換律？ 答：阿貝爾葡萄。

問：什麼是薰衣草色並且滿足交換律？ 答：阿貝爾半葡萄。

問：什麼是紫色的，滿足交換律，並且被有限數量的人崇拜？ 答：有限崇拜的阿貝爾葡萄。

問：什麼是有營養的並且滿足交換律？ 答：阿貝爾湯。

參見

有限群, 群論, 克羅內克分解定理, 分拆函式 P, 環 在 課堂中探索此主題

使用 探索

參考文獻

Arnold, D. M. 和 Rangaswamy, K. M. (編輯). 阿貝爾群和模. New York: Dekker, 1996.DeKoninck, J.-M. 和 Ivić, A. 算術函式主題：算術函式倒數和及相關領域的漸近公式. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, 1980.Erdős, P. 和 Szekeres, G. "關於給定階數的阿貝爾群的數量和相關的數論問題." Acta Sci. Math. (Szeged) 7, 95-102, 1935.Finch, S. R. "阿貝爾群列舉常數." §5.1 in 數學常數. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 273-278, 2003.Fuchs, L. 和 Göbel, R. (編輯). 阿貝爾群. New York: Dekker, 1993.Kendall, D. G. 和 Rankin, R. A. "關於給定階數的阿貝爾群的數量." Quart. J. Oxford 18, 197-208, 1947.Kolesnik, G. "關於給定階數的阿貝爾群的數量." J. reine angew. Math. 329, 164-175, 1981.Neumann, P. M. "有限群的列舉定理." Quart. J. Math. Ser. 2 20, 395-401, 1969.Pyber, L. "列舉給定階數的有限群." Ann. Math. 137, 203-220, 1993.Renteln, P. 和 Dundes, A. "萬無一失：數學民間幽默的抽樣." Notices Amer. Math. Soc. 52, 24-34, 2005.Richert, H.-E. "關於給定階數的阿貝爾群的數量 I." Math. Zeitschr. 56, 21-32, 1952.Sloane, N. J. A. 序列 A000688/M0064, A063966, 和 A084911 in "整數序列線上百科全書."Srinivasan, B. R. "關於給定階數的阿貝爾群的數量." Acta Arith. 23, 195-205, 1973.

在 上引用

阿貝爾群

請引用為

Weisstein, Eric W. "阿貝爾群." 來自 --一個 資源. https://mathworld.tw/AbelianGroup.html

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