群

一個群 是一個有限或無限的元素集合，以及一個 二元運算（稱為群運算），它們共同滿足封閉性、結合性、單位元性質和逆元性質這四個基本性質。定義群所依據的運算通常稱為“群運算”，並且稱一個集合在這個運算“下”是一個群。 元素 , , , ... ，其中 和 之間的二元運算記為 ，如果滿足以下條件，則構成一個群：

1. 封閉性：如果 和 是 中的兩個元素，那麼它們的乘積 也在 中。

2. 結合性：定義的乘法是結合的，即對於所有 ，。

3. 單位元：存在一個單位元 (也稱為 1, , 或 )，使得對於每個元素，都有 。

4. 逆元：每個元素都必須存在一個逆元（也稱為倒數）。因此，對於 的每個元素 ，該集合包含一個元素 ，使得 。

一個群是一個 么半群，其每個元素都是可逆的。

一個群必須包含至少一個元素，具有唯一（直到同構）的單元素群稱為平凡群。

對群的研究稱為群論。如果元素的數量是有限的，則該群稱為有限群，並且元素的數量稱為該群的群階。在群運算和逆運算下封閉的群的子集稱為子群。子群也是群，並且許多常見的群實際上是一些更一般的較大群的特殊子群。

有限群的一個基本例子是對稱群 ，它是 個物件的排列（或“在排列下”）的群。最簡單的無限群是整數集合在通常加法下的群。對於連續群，可以考慮實數集合或 可逆矩陣的集合。後兩個是李群的例子。

一種非常常見的群型別是迴圈群。這個群與整數群（模）同構，用 、 或 表示，並且對每個整數 定義。它在加法下封閉，具有結合性，並且有唯一的逆元。從 0 到 的數字表示其元素，單位元用 0 表示， 的逆元用 表示。

兩個群之間保留單位元和群運算的對映稱為同態。如果一個同態有一個也是同態的逆對映，則它稱為同構，並且這兩個群被稱為同構。當被視為抽象群時，彼此同構的兩個群被認為是“相同的”。例如，如下所示的正方形的旋轉群是迴圈群 。

一般來說，群作用是指一個群作用於一個集合，置換其元素，使得從群到該集合的置換群的對映是一個同態。例如，正方形的旋轉是其角點的排列的子群。對於任何群 ，一個重要的群作用是它透過共軛作用於自身。這些只是一些可能的群自同構。另一種重要的群作用是群表示，其中群透過可逆線性對映作用於向量空間。當向量空間的域是複數時，有時表示被稱為CG 模。

群作用，特別是表示，在應用中非常重要，不僅對群論很重要，而且對物理和化學也很重要。由於可以將群視為一個抽象的數學物件，因此同一個群可能會出現在不同的上下文中。因此，將群的表示視為群的特定體現是有用的，該群也可能具有其他表示。群的不可約表示是一種表示，對於該表示，不存在可以將表示矩陣轉換為分塊對角形式的酉變換。正如在群正交性定理中所形式化的那樣，不可約表示具有許多顯著的性質。