群表示

群 的表示是 在 向量空間 上的 群作用，透過 可逆線性對映。例如，二元群 有一個表示 由 和 給出。一個表示是 群同態 。

大多數群有許多不同的表示，可能在不同的向量空間上。例如，對稱群 在 上有一個表示，由

(1)

其中 是 排列 的 符號。它在 上也有一個表示，由

(2)

一個表示為每個元素提供一個矩陣，因此 的另一個表示由矩陣給出

(3)

如果兩個表示是 相似的，則認為它們是等價的。例如，對上述矩陣執行 相似變換，透過

(4)

給出 的以下等價表示，

(5)

的任何表示 可以 被 限制 為任何子群 的表示，在這種情況下，它被表示為 。更令人驚訝的是，在 上的任何表示 可以擴充套件為 的表示，在更大的 向量空間 上，稱為 誘導表示。

表示在數學的許多分支中都有應用，除了在物理學和化學中的應用。理論的名稱取決於 群 和 向量空間 。根據 是 有限群、無限 離散群 還是 李群，需要不同的方法。另一個重要的成分是 的標量域。向量空間 可以是無限維的，例如 希爾伯特空間。此外，特殊型別的表示可能需要保留向量空間結構。例如，酉表示 是一個 群同態 到 酉變換 群中，它保留了 上的 埃爾米特內積。

在有利的情況下，例如有限群，任意表示將分解為 不可約表示，即， 其中 是不可約的。對於許多群，不可約表示已經被分類。