向量空間

向量空間 是一個在有限向量加法和標量乘法下封閉的集合。基本例子是 -維歐幾里得空間 ，其中每個元素都由 n 個 實數列表表示，標量是實數，加法是按分量進行的，標量乘法是對每個項分別進行的乘法。

對於一般的向量空間，標量是域 的成員，在這種情況下， 稱為域 上的向量空間。

歐幾里得 -空間 稱為實向量空間，而 稱為復向量空間。

為了使 成為向量空間，對於所有元素 以及任何標量 ，以下條件必須成立：

1. 交換律

(1)

2. 向量加法的結合律

(2)

3. 加法單位元：對於所有 ，

(3)

4. 加法逆元的存在性：對於任何 ，存在一個 使得

(4)

5. 標量乘法的結合律

(5)

6. 標量和的分配律

(6)

7. 向量和的分配律

(7)

8. 標量乘法單位元

(8)

設 是維度為 的向量空間，其定義在具有 個元素的域上（其中 必然是素數的冪）。那麼 上的非奇異線性運算元的數量是

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並且 的 -維子空間的數量是

			(11)
			(12)
			(13)

其中 是一個 q-Pochhammer 符號。

選擇公理的一個推論是每個向量空間都有一個向量基。

模在抽象上類似於向量空間，但它使用環來定義係數，而不是向量空間使用的域。模在更一般的代數物件中具有係數。