巴拿赫空間

巴拿赫空間是具有範數 的完備的 向量空間 。如果兩個範數 和 給出相同的拓撲，則稱它們是等價的，這等價於存在常數 和 使得

(1)

和

(2)

對所有 成立。

在有限維情況下，所有範數都是等價的。無限維空間可以有許多不同的範數。

一個基本例子是具有歐幾里得範數的 維歐幾里得空間。通常，巴拿赫空間的概念僅在無限維 setting 中使用，通常作為函式向量空間。例如，在實數線的閉區間上連續函式集，其函式 的範數由下式給出

(3)

是巴拿赫空間，其中 表示上確界。

另一方面，在單位區間 上連續函式集，其函式 的範數由下式給出

(4)

不是巴拿赫空間，因為它不是完備的。例如，函式柯西序列

(5)

不收斂到連續函式。

以其內積給出的範數為希爾伯特空間是巴拿赫空間的例子。雖然希爾伯特空間總是巴拿赫空間，但反之不一定成立。因此，巴拿赫空間有可能不具有由內積給出的範數。例如，上確界範數不能由內積給出。

Renteln 和 Dundes (2005) 給出了以下關於巴拿赫空間（糟糕的）數學笑話

問：什麼是黃色的、線性的、賦範的和完備的？ 答：香蕉赫空間（Bananach space）。