自反空間

設 為 賦範空間， 表示 的第二次對偶向量空間 。典範對映 由 定義，給出了從 到 的等距線性同構（嵌入）。如果此對映是滿射的，則空間 稱為自反空間。這個概念由 Hahn (1927) 引入。

例如，有限維（賦範）空間和 希爾伯特空間 是自反的。絕對可和復序列空間 不是自反的。James (1951) 構造了一個非自反的巴拿赫空間，它與其第二次共軛空間等距同構。

自反空間是 巴拿赫空間。這是因為給定一個可能是或可能不是巴拿赫空間的 賦範空間 ， 上的範數在 的對偶 上誘導一個範數（稱為對偶範數），並且在對偶範數下， 是巴拿赫空間。再次迭代，（ 的雙對偶）也是巴拿赫空間，並且由於如果 與其雙對偶重合，則 是自反的，所以 是巴拿赫空間。